Informazioni generali

L' obiettivo formativo del corso è di acquisire una buona conoscenza dei metodi generali e delle tecniche di base necessarie allo studio di soluzioni classiche e deboli per equazioni alle derivate parziali.

Avvisi

Modulo A
Lezione 1 (24/02/2025) Introduzione all'equazione di Laplace e interpretazione fisica in alcuni modelli. Teorema della divergenza per insiemi normali. Definizione dell'elemento di integrazione su superfici k-dimensionali in forma parametrica/grafico
Lezione 2 (26/02/2025) Definizione di integrale su iper-superfici in forma vincolare. Teorema della divergenza per insiemi regolari
Lezione 3 (05/03/2025) Partizione dell'unità e definizione di integrale su iper-superfici in forma vincolare. Formula di integrazione in coordinate radiali
Lezione 4 (12/03/2025) Fz. sub/super armoniche soddisfano la disuguaglianza di valor medio; principio del massimo forte e debole; unicità per il problema di Poisson
Lezione 5 (17/03/2025) Fz. continue che soddisfano la proprietà di valor medio sono lisce ed armoniche; disuguaglianza di Harnack; stima per il gradiente di fz. armoniche
Lezione 6 (19/03/2025) Stima per le derivate di fz. armoniche; analiticità delle fz. armoniche; teorema di Liouville
Lezione 7 (21/03/2025) Soluzione fondamentale del laplaciano; laplaciano di fz. radiali; funzione di Green e rappresentazione di Green su domini limitati; equazione distribuzionale per la fz di Green
Lezione 8 (26/03/2025) Simmetria e positività della fz di Green; calcolo della funzione di Green per il semispazio e per la palla; formula e kernel di Poisson
Lezione 9 (28/03/2025) Risolubilità del problema di Laplace su palle; dimostrazione alternativa della proprietà che fz. continue soddisfacenti la proprietà di valor medio equivalgono a fz armoniche; disuguaglianza di Harnack su palle; dimostrazione del teorema di Liouville per fz positive
Lezione 10 (31/03/2025) Definizione di subarmonicità per fz continue; il sollevamento armonico preserva la subarmonicità; principio del massimo debole e forte per fz continue subarmoniche e superarmoniche
Lezione 11 (02/04/2025) Metodo di Perron e armonicità della soluzione di Perron; fz armoniche limitate sono precompatte in convergenza localmente uniforme; punti regolari di bordo e fz di barriera; continuità in punti regolari del bordo; risolubilità del problema di Laplace; condizione di sfera esterna
Lezione 12 (04/04/2025) Esistenza della fz di Green e rappresentazione di soluzioni del problema di Poisson; equazione di Poisson e potenziale Newtoniano; regolarità C^1 del potenziale Newtoniano
Lezione 13 (09/04/2025) Regolarità C^2 del potenziale Newtoniano e calcolo del suo operatore laplaciano; cenni alla regolarità interna $C^{\mathrm{^\{2},\mathrm{\alpha \}}}$
Lezione 14 (11/04/2025) Risoluzione in $C^2$ del problema di Poisson con f Hölderiana; cenni alla regolarità ${\mathrm{C^\{}}^{2,\mathrm{\alpha \}}}$ su bordo piatto per soluzioni con dato al bordo nullo e riflessione di Schwartz; equivalenza conforme tra palle e semispazi; risolubilità in $C^{\mathrm{^\{2},\mathrm{\alpha \}}}$ del problema di Laplace su palle
Lezione 15 (14/04/2025) Definizione di operatore ellittico L del second'ordine; cenni al principio del massimo ed alla teoria di Schauder per L

Modulo B
Lezione 16 (28/04/2025) Introduzione all'approccio variazionale: minimizzazione di un opportuno funzionale di energia; compattezza debole per successioni in spazi riflessivi; definizione di derivate deboli, degli spazi di Sobolev $$e della corrispondente norma; unicità q.o. delle derivate deboli
Lezione 17 (05/05/2025)  Definizione del prodotto di convoluzione; teorema di Young; supporto del prodotto di convoluzione; proprietà di regolarità del prodotto di convoluzione
Lezione 18 (12/05/2025) Convergenza del prodotto di convoluzione con una successione di mollificatori: localmente uniforme se f è continua, in L^p se f è L^p; densità di C_0^∞(Ω) in L^p(Ω) per 1≤p<∞; funzioni su Ω che hanno integrale nullo contro fz. in C_0^∞(Ω) sono q.o. nulle in Ω
Lezione 19 (19/05/2025) Completezza, riflessività e separabilità degli spazi di Sobolev. Derivabilità debole della convoluzione per fz W^{1,p}
Lezione 20 (21/05/2025) Teorema di Friedrichs. Caratterizzazione delle funzioni di Sobolev in termini delle traslazioni
Lezione 21 (23/05/2025) Teorema di Sobolev-Gagliardo-Nirenberg in R^n per p=1 e per 1<p<n
Lezione 22 (26/05/2025)  Disuguaglianza di Holder generalizzata e di interpolazione; risultati di immersione per W^{1,n}; Teorema di Morrey per p>n in R^n
Lezione 23 (28/05/2025) Definizione e proprietà di W^{1,p}_0(Ω); funzioni di W^{1,p}_0(Ω), estese a zero, sono in W^{1,p}(R^n); immersioni continue per W^{1,p}_0(Ω); disuguaglianza di Poincaré
Lezione 24 (30/05/2025) Richiami sul Teorema di Ascoli-Arzelà e di Riesz-Fréchet-Kolmogorov; immersioni compatte per  W^{1,p}_0(Ω); fz continue in W^{1,p}_0(Ω) sono nulle sul bordo di Ω; il gradiente di fz in W^{1,p}(Ω) sono nulle q.o. sugli insiemi di livello 
Lezione 25 (04/06/2025) Derivazione della composizione in W^{1,p}; fz continue e W^{1,p}(Ω) che si annullano sul bordo di Ω sono in W^{1,p}_0(Ω); formula di cambiamento di variabile in W^{1,p}
Lezione 26 (06/06/2025) Discussione dell'equazione di Poisson: soluzioni classiche sono deboli; esistenza di soluzioni deboli per minimizzazione; soluzioni deboli regolari sono soluzioni classiche; regolarità della soluzione debole tramite il metodo delle traslazioni nel caso di R^n
Lezione 27 (11/06/2025) Regolarità della soluzione debole tramite il metodo delle traslazioni nel caso di R^n_+
Lezione 28 (12/06/2025) Regolarità delle soluzioni deboli dell'equazione di Poisson su domini di classe C^{m+2} per m>n/2
Testi di riferimento

Modulo A: