Informazioni generali
L' obiettivo
formativo del
corso è di acquisire una
buona conoscenza dei metodi generali e delle tecniche di
base necessarie allo studio di soluzioni classiche e deboli
per equazioni alle derivate parziali.
Il corso è diviso in due moduli. Il
modulo A si occupa delle proprietà delle funzioni armoniche (disuguaglianze di valor medio,
principio del massimo, disuguaglianza di Harnack,
rappresentazione di Green ed integrale di Poisson) fino a
discutere risultati di esistenza per l'equazione di Laplace.
Il modulo B tratta le proprietà degli spazi di Sobolev con
applicazione alla teoria delle soluzioni deboli.
Avvisi
Diario delle
lezioni
Modulo A
Lezione 1 (25/2/2026) Teorema della divergenza per insiemi
normali. Partizione
dell'unità
Lezione
2 (26/2/2026)
Definizione di
integrale su
iper-superfici
in forma
vincolare.
Teorema della
divergenza per
insiemi
regolari. Formula
di
integrazione
in coordinate
radiali
Lezione
3 (4/3/2026)
Introduzione
all'equazione
di Laplace e
interpretazione
fisica in
alcuni
modelli. Fz.
sub/super
armoniche
soddisfano la
disuguaglianza
di valor
medio. Principio
del massimo
forte
Lezione
4 (9/3/2026) Principio
del massimo
debole;
unicità per il
problema di
Poisson.
Fz.
continue che
soddisfano la
proprietà di
valor medio
sono lisce
Lezione
5 (11/3/2026)
Fz.
continue che
soddisfano la
proprietà di
valor medio
sono
armoniche.
Disuguaglianza
di Harnack.
Stima per il
gradiente di
fz. armoniche;
teorema
di Liouville
Lezione
6 (12/3/2026)
Stima
per le
derivate di
fz. armoniche;
analiticità
delle fz.
armoniche.
Laplaciano
di fz.
radiali;
soluzione
fondamentale
del laplaciano
Testi di riferimento
Modulo A: