Informazioni generali
L' obiettivo
formativo del
corso è di acquisire una
buona conoscenza dei metodi generali e delle tecniche di
base necessarie allo studio di soluzioni classiche e deboli
per equazioni alle derivate parziali.
Il corso è diviso in due moduli. Il
modulo A si occupa delle proprietà delle funzioni armoniche (disuguaglianze di valor medio,
principio del massimo, disuguaglianza di Harnack,
rappresentazione di Green ed integrale di Poisson) fino a
discutere risultati di esistenza per l'equazione di Laplace.
Il modulo B tratta le proprietà degli spazi di Sobolev con
applicazione alla teoria delle soluzioni deboli.
Avvisi
Diario delle
lezioni
Modulo A
Lezione 1 (25/2/2026) Teorema della divergenza per insiemi
normali. Partizione
dell'unità
Lezione
2 (26/2/2026)
Definizione di
integrale su
iper-superfici
in forma
vincolare.
Teorema della
divergenza per
insiemi
regolari. Formula
di
integrazione
in coordinate
radiali
Lezione
3 (4/3/2026)
Introduzione
all'equazione
di Laplace e
interpretazione
fisica in
alcuni
modelli. Fz.
sub/super
armoniche
soddisfano la
disuguaglianza
di valor
medio. Principio
del massimo
forte
Lezione
4 (9/3/2026) Principio
del massimo
debole;
unicità per il
problema di
Poisson.
Fz.
continue che
soddisfano la
proprietà di
valor medio
sono lisce
Lezione
5 (11/3/2026)
Fz.
continue che
soddisfano la
proprietà di
valor medio
sono
armoniche.
Disuguaglianza
di Harnack.
Stima per il
gradiente di
fz. armoniche;
teorema
di Liouville
per fz
limitate e per
fz positive
Lezione
6 (12/3/2026)
Stima
per le
derivate di
fz. armoniche;
analiticità
delle fz.
armoniche.
Laplaciano
di fz.
radiali;
soluzione
fondamentale
del laplaciano
Lezione
7 (17/3/2026)
Funzione
di Green e
rappresentazione
di Green su
domini
limitati;
equazione
distribuzionale
per la fz di
Green;
calcolo
della funzione
di Green per
la palla;
formula di
Poisson
Lezione
8 (18/3/2026)
Risolubilità
del
problema di
Laplace su
palle;
dimostrazione
alternativa
della
proprietà che
fz. continue
soddisfacenti
la proprietà
di valor medio
equivalgono a
fz armoniche;
disuguaglianza
di Harnack su
palle
Lezione
9 (25/3/2026)
Definizione
di
subarmonicità
per fz
continue; il
sollevamento
armonico
preserva la
subarmonicità;
principio del
massimo debole
e forte per fz
continue
subarmoniche e
superarmoniche
Lezione
10 (31/3/2026)
Metodo
di Perron e
armonicità
della
soluzione di
Perron; fz
armoniche
limitate sono
precompatte in
convergenza
localmente
uniforme;
punti regolari
di bordo e fz
di barriera;
continuità
della
soluzione di
Perron in
punti regolari
del bordo
Lezione
11 (8/4/2026)
Risolubilità
del problema
di Laplace;
condizione di
sfera esterna;
equazione di Poisson e
potenziale Newtoniano; regolarità C^1 del potenziale
Newtoniano
Lezione
12 (13/4/2026)
Regolarità C^2
del potenziale Newtoniano e calcolo del suo operatore
laplaciano; risoluzione in del
problema di Poisson con f Hölderiana
Lezione
13 (14/4/2026)
Definizione
di
operatore lineare ellittico del
second'ordine; principio del massimo
debole per operatori ellittici;
unicità per il problema di Dirichlet
associato
Lezione
14 (15/4/2026)
Lemma
di Hopf e
principio del
massimo forte
per operatori
uniformemente
ellittici; unicità per il
problema di Neumann associato
Modulo
B
Lezione
15 (27/4/2026)
Introduzione all'approccio variazionale:
minimizzazione
di un
opportuno
funzionale di
energia;
definizione di
derivate
deboli, degli spazi di Sobolev e della corrispondente
norma; unicità
q.o. delle
derivate
deboli; completezza,
riflessività e
separabilità
degli spazi di
Sobolev
Lezione
16 (29/4/2026)
Richiami sulla convoluzione e sui
mollificatori.
Derivabilità
debole della
convoluzione
per fz W^{1,p}
Lezione
17 (4/5/2026)
Teorema di Friedrichs
Lezione
18 (5/5/2026)
Caratterizzazione delle funzioni di
Sobolev in
termini delle
traslazioni
Lezione
19 (6/5/2026)
Derivazione
di prodotto e
composizione
in W^{1,p};
formula di cambiamento di variabile in
W^{1,p}. Prolungamento di fz W^{1,p} nel caso di
bordo piatto
Lezione
20 (11/5/2026)
Prolungamento
di fz W^{1,p}
per aperti con
bordo Richiami sulla partizione dell'unità. compatto
di classe C^1
e per il
semispazio
Lezione
21 (12/5/2026)
Teorema di
Sobolev-Gagliardo-Nirenberg
Lezione
22 (13/5/2026) Disuguaglianza
di Holder
generalizzata
e di
interpolazione;
risultati di
immersione per
W^{1,n}; Teorema
di Morrey per
p>n
in R^n
Lezione
23 (18/5/2026)
Definizione e
proprietà di
W^{1,p}_0(Ω);
funzioni di
W^{1,p}_0(Ω),
estese a zero,
sono in W^{1,p}(R^n);
immersioni
continue e compatte per
W^{1,p}_0(Ω);
disuguaglianza
di Poincaré. Immersioni
continue e compatte per
W^{1,p}(Ω) per Ω aperto limitato di classe C^1
Lezione
24 (19/5/2026) Fz continue in W^{1,p}(Ω)
sono in W^{1,p}_0(Ω)
se e solo se sono nulle sul
bordo di Ω; il
gradiente di
fz in W^{1,p}(Ω) è nullo
q.o. sugli
insiemi di
livello. Discussione dell'equazione di Poisson: soluzioni classiche sono deboli; esistenza di soluzioni deboli per minimizzazione; soluzioni deboli regolari sono soluzioni classiche
Testi di riferimento
Modulo A: