Analisi Matematica 1
(LT Ingegneria Civile e Ambientale/Ingegneria delle Tecnologie Aeronautiche e del Trasporto Aereo)

Docenti: Proff. Pierpaolo Esposito, Maria Cristina Signorino


Esoneri ed esami
Il I esonero si è tenuto sabato 29 Novembre 2025 in orario 9:00-12:00 nelle aule DS1-N1-N10-N11. Il compito del I esonero era costituito da quattro esercizi a risposta aperta per un totale di 30 punti. Nell'esercizio su studio di funzione il punto sul calcolo della derivata costituisce sbarramento ai fini del superamento dell'intero esonero. Gli argomenti trattati sono: equazioni in campo complesso, limiti di successioni e funzioni, derivate e studio di funzione.

Il II esonero si terrà giovedì 15 Gennaio 2026 in orario 14:00-17:00 nelle aule DS1-N10-N11. Il compito del II esonero sarà costituito da cinque esercizi a risposta aperta per un totale di 30 punti, con un primo esercizio da 3 punti che costituisce sbarramento ai fini del superamento dell'intero esonero. Gli argomenti trattati saranno: limiti con Taylor e de L'Hopital, integrali definiti e indefiniti, integrali impropri e serie.

Agli scritti è possibile portare un libro di teoria, un quaderno/quadernone di appunti e un foglio di formulario. Non saranno invece ammessi fogli svolazzanti, al fine di permettere un'attività di sorveglianza agevole, e l'uso di calcolatrici di qualsiasi tipo è vietato, a meno di situazioni specifiche.

Ricevimento
Lunedì e giovedì ore 12-13 previo appuntamento presso l'ufficio C311, III piano, palazzina C, sede di Largo Murialdo

Testi di riferimento
Altri testi
Diario delle lezioni
Lezione 1 (29/9/2025): Richiami sulla costruzione dei numeri interi Z e razionali Q a partire dai numeri naturali N; assenza di radici quadrate in Q; costruzione assiomatica dei numeri reali R ed assioma di completezza; esistenza di in R
Lezione 2 (30/9/2025): Costruzione dei numeri naturali N come il più piccolo insieme induttivo, principio di induzione, esempio; intervalli, densità di Q in R; esistenza in R della radice n-esima; massimo, maggiorante ed estremo superiore di un insieme.
Lezione 3 (2/10/2025): Esistenza dell'estremo superiore di un insieme;  definizione delle potenze di esponente reale: e^x e proprietà delle potenze; immagini e pre-immagini di una fz; fz iniettive, suriettive, invertibili e costruzione della fz inversa; fz crescenti e definizione di log x come inversa di e^x; proprietà di log x
Lezione 4 (3/10/2025): Grafico di A^x, A>0, e di log x; definizione di seno, coseno, tangente, cotangente e loro grafici; periodicità e simmetrie elementari; costruzione delle fz inverse arcoseno,...; introduzione ai numeri complessi, somma e prodotto, forma cartesiana; parte reale e immaginaria, coniugato
Lezione 5 (6/10/2025): Modulo di numeri complessi, disuguaglianza triangolare. Rappresentazione polare e prodotti. Esempi
Esercitazione 1 (7/10/2025)
Esercitazione 2 (9/10/2025)
Lezione 6 (10/10/2025): Radici n-esime in campo complesso; esercizi. Il valore assoluto in R
Lezione 7 (13/10/2025): Proprietà di Archimede. Disuguaglianza di Bernoulli. Calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni e combinazioni; formula del binomio di Newton
Lezione 8 (14/10/2025): Triangolo di Tartaglia. Definizione di limite finito e infinito per successioni; confronto asintotico tra A^n e radice di n; operazioni con i limiti
Esercitazione 3 (16/10/2025)
Esercitazione 4 (17/10/2025)
Lezione 9 (20/10/2025): Teorema del confronto; unicità del limite; permanenza del segno. Operazioni con i limiti e forme indeterminate. Esempi
Lezione 10 (20/10/2025): Limite della radice n-esima per p e per potenze di n; confronti di ordine di infinito tra potenze di n, esponenziali con base>1, n!, n^n; limite della radice n-esima di n!; esempi
Lezione 11 (23/10/2025): Confronto di ordine di infinito tra potenze di log n e potenze di n; parte intera e frazionaria. Definizione del numero di Nepero e; esempi; monotonia di (1+1/n)^n
Esercitazione 5 (24/10/2025)
Lezione 12 (27/10/2025): Limiti di successioni monotone; finitezza di e; esempi
Lezione 13 (28/10/2025): Esercizi vari
Esercitazione 6 (30/10/2025)
Lezione 14 (3/11/2025): Limite funzionale per x→+∞; teorema ponte. Definizione di punto di accumulazione e limite funzionale per x→x_0. Intorni dei punti finiti e di +/- infinito; definizione generale di limite di funzione con gli intorni. Limite destro/sinistro e relazione con il limite completo.  Limite di  (1+x)^{1/x} in zero;  limite notevole del logaritmo
Lezione 15 (3/11/2025): Limite notevole dell'esponenziale. Confronti di infinito tra (log x)^alpha, x^beta, A^x con A>1, x^x. Limite notevole di seno e coseno. Esempio
Esercitazione 7 (4/11/2025)
Lezione 16 (6/11/2025): Algebra dei limiti estesa; teorema del confronto; permanenza del segno. Definizione di continuità. Continuità delle fz elementari: seno, coseno, esponenziale, logaritmo
Esercitazione 8 (7/11/2025)
Lezione 17 (10/11/2025): Algebra delle fz continue. Permanenza del segno. Continuità della composizione; continuità di x^alpha e delle fz razionali. Teorema degli zeri
Lezione 18 (11/11/2025): Teorema dei valori intermedi. Definizione rigorosa della funzione logaritmo. Teorema di Weierstrass. Classificazione delle discontinuità
Esercitazione 9 (13/11/2025)
Lezione 19 (14/11/2025): Teorema di Bolzano-Weierstrass. Definizione di derivata e significato geometrico. Algebra delle funzioni derivabili e regole di derivazione. Derivata della funzione composta. Derivata di sin x, cos x, x^n, e^x, log x, x^alpha
Lezione 20 (17/11/2025): Derivabilità implica continuità. Regole di derivazione  per la fz inversa. Calcolo della derivata delle funzioni inverse: arcsin x, arccos x e arctan x. Enunciato del Teorema di Lagrange; monotonia di funzioni derivabili
Lezione 21 (17/11/2025): Studio di funzione: asintoti verticali, orizzontali e obliqui. Esercizio su studio di funzione
Esercitazione 10 (18/11/2025)
Esercitazione 11 (20/11/2025)
Lezione 22 (24/11/2025) Teorema di Rolle, Fermat e Lagrange. Funzioni con derivata nulla su un intervallo sono costanti. Teorema di Cauchy
Esercitazione 12 (25/11/2025)
Esercitazione 13 (27/11/2025)
Lezione 23 (28/11/2025) Sviluppi di Taylor con resto in forma Lagrange
Lezione 24 (1/12/2025) Sviluppo in serie di Taylor di esponenziale, seno, coseno. Somma geometrica; sviluppo di Taylor del logaritmo. Esercizi su limiti di funzione
Esercitazione 14 (2/12/2025)
Lezione 25 (4/12/2025) Teorema di de L'Hôpital ed esempi
 Lezione 26 (5/12/2025) Definizione di integrale di Riemann e prime proprietà; Teorema Fondamentale del Calcolo integrale (=TFC)
Esercitazione 15 (9/12/2025)
Lezione 27 (11/12/2025) Uso del TFC nel calcolo degli integrali definiti. Primitive di alcune fz elementari. Linearità dell'integrale. Integrazione per parti ed esempi
Lezione 28 (12/12/2025): Ulteriori esempi di integrazione per parti. Cambio di variabili negli integrali. Sostituzione per espressioni in seno/coseno
Lezione 29 (15/12/2025): Sostituzione per espressioni quadratiche in seno/coseno. Esempi
Lezione 30 (15/12/2025): Integrazione di fz irrazionali in ax+b. Trasformazione di Eulero per l'integrazione di fz irrazionali in ax^2+bx+c con a>0. Integrazione di fz irrazionali in ax^2+bx+c con a<0. Esempi
Esercitazione 16 (16/12/2025)
Lezione 31 (18/12/2025):  Metodo dei fratti semplici per integrare fz. razionali. Esempi
Lezione 32 (19/12/2025): Integrazione dei fratti semplici. Integrali impropri; integrabilità di x^alpha in (0,1) e (1,+∞)
Esercitazione 17 (22/12/2025)
Lezione 33 (8/1/2026): Criterio del confronto e del confronto asintotico per l'integrabilità di fz positive. Esempi
Lezione 34 (9/1/2026): Criterio dell'integrabilità assoluta. Esempi. Introduzione alle serie
Lezione 35 (12/1/2026): Serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie armonica. Criterio del confronto e del confronto asintotico. Criterio del rapporto e della radice. Esempi
Lezione 36 (12/1/2026): Criterio di condensazione di Cauchy. Serie armoniche generalizzate. Criterio della convergenza assoluta. Criterio di Leibnitz. Esempi
Esercitazione 18 (13/1/2026)

 Programma sintetico
Insiemi numerici (N,Z,Q e R), costruzione assiomatica di R, costruzione di N e principio di induzione, i numeri complessi; elementi di topologia in R e teorema di Bolzano-Weierstrass; funzioni reali di variabile reale, limiti di funzione e proprietà, limiti di successione, limiti notevoli, il numero di Nepero; funzioni continue e loro proprietà;  derivata di funzione e proprietà, i teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange, de l'Hopital, formula di Taylor), funzioni convesse/concave; grafico di funzione; integrazione secondo Riemann e proprietà, integrabilità delle funzioni continue, teorema fondamentale del calcolo integrale, integrazione per sostituzione e per parti, regole di integrazione; serie numeriche, convergenza semplice ed assoluta, criteri di convergenza per serie a termini positivi e per serie a termini qualsiasi; sviluppi in serie di Taylor; integrali impropri.