Docenti:Corrado Falcolini e Valerio Talamanca
Esercitratice: Astridh Boccabella
Sistemi numerici: N, Z, Q, R. Loro rappresentazione come "estensioni", cioè attraverso elementi del più piccolo: Z come elementi di N con segno, Q come coppie di Z, R come successioni ("convergenti") di Q. Dialettica continuo/discreto: R come "tagli di Dedekind" in Q; approssimabilità. Loro rappresentazione come "inclusioni" nel più grande: R come retta numerica, posizione dei sottoinsiemi N, Z, Q. Irrazionalità di radice di 2.
Misurare insiemi infiniti: cardinalità di N e di R. Numerabilità (primo procedimento diagonale di Cantor). Potenza del continuo (secondo procedimento diagonale di Cantor).
Successioni, limite di successioni . Successioni monotone, divergenti, convergenti, senza limite. Composizione di successioni: algebra dei limiti, teorema dei carabinieri.
Il numero di Nepero e successioni collegate Il principio di induzione. Somme infinite. Disuguaglianza di Bernoulli.
Analisi matematica in una variabile:
Coordinate, incrementi, funzioni. Insieme di definizione di una funzione reale di variabile reale. Piano cartesiano. Grafico di una funzione. Algebra dei grafici. Matrici. Pendenza di un segmento, velocità di variazione di una funzione. Limiti di funzioni. Collegamento con i limiti di successioni: teorema "ponte". Limiti notevoli. Derivata come limite del rapporto incrementale. Velocità di un moto. Differenziali. Derivata prima, pendenza di una curva in un punto, velocità istantanea. Equazioni che "legano" tra loro variabili in un "modello" matematico, insieme di reinterpretabilità del modello. Derivate di funzioni polinomiali, razionali; derivate di funzioni trigonometriche; derivate di funzioni composte, inverse. Derivate prime ed applicazioni: studio dei grafici, variazione relativa di due grandezze collegate in un modello matematico. Ottimizzazione di grandezze vincolate in un modello matematico. Derivata seconda, concavità di una curva, accellerazione istantanea. Teoremi sulle funzioni continue: teorema del Valore Intermedio, esistenza di estremi locali. Massimi e minimi, teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange (derivata in un estremo locale, esistenza di un estremo locale, teorema del Valor Medio). Regola di de L' Hopital.
Studio dei grafici; comportamento ai bordi dell' insieme di definizione: asintoti veritcali, orizzontali ed obliqui. Sintesi grafica delle informazioni ottenute analiticamente.
Metodo di Newton. Approssimazione di una funzione con polinomi, polinomio di Taylor di una funzione.
Integrazione. Integrali indefiniti. Somme di Riemann, calcolo delle aree come limiti di somme di Riemann; integrale definito e teorema di Torricelli (o "fondamentale del Calcolo"). Formula fondamentale del Calcolo. Applicazioni: calcolo di aree, ricerca di primitive. Metodi di integrazione: integrazione di polinomi, di funzioni trigonometriche, integrazione per sostituzione e per parti, integrazioni di funzioni razionali.
Funzioni trascendenti: logaritmo naturale ed esponenziale, integrazione e derivazione logaritmica ed esponenziale.
Integrali impropri
Curve parametriche: vettori geometrici, curve parametriche regolari, lunghezza di un arco di curva.
nota bene: quello riportato qui sopra è un programma di massima fa testo quanto svolto in classe.
Fra i testi a livello univarsitario di analisi matematica segnaliamo: G.B. Thomas, R.L. Finney Elementi di Analisi Matematica e Geometria Analitica ed. Zanichelli
Robert A. Adams Calcolo Differenziale Ied. CEA (Casa Editrice Ambrosiana)
Inoltre vi consigliamo:
Courant, Robbins "Che cos' è la Matematica?" ed. Boringhieri
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