La Matematica nella facolta di Architettura di Roma Tre

Facoltà di Architettura

Corso di Matematica per LM in Restauro:
Curve e Superfici
a.a. 2008-09
Docente: Corrado Falcolini

Programma

Curve piane:
Lo spazio euclideo. Curve parametriche in R². Lunghezza di un arco di curva. La curvatura. Esempi utilizzando il software Mathematica: comandi Plot, ParametricPlot, RegionPlot e relative opzioni; funzioni e vettori (f[x_]:= ... e comando Table).
Curve piane famose: Cicloide, Epicicloide e Ipocicloide, Lemniscata, Cardioide, Catenaria, Cissoide. Esempi grafici della loro costruzione e animazioni con Mathematica: comandi Manipulate, Animate, istruzioni grafiche Show, Graphics, Point e Line opzioni Epilog e PlotStyle
Determinazione dell'equazione di una curva su un profilo dato in una immagine: comandi Import, GraphicsRow con opzione Spacings.
Curve in forma implicita. Coordinate polari. Spirali logaritmiche e di Archimede, il Lituus, il Folium di Cartesio, l'Ovale di Cassini. I comandi ImplicitPlot, PolarPlot, ContourPlot.
Versore tangente e normale. Movimenti rigidi di una curva piana: traslazioni, rotazioni e riflessioni. Matrici di rotazione e di riflessione. Curve definite dalla curvatura. Comandi Derivative, Det, Inverse, Dot, Solve e NDSolve.

Curve nello spazio:
Il prodotto vettoriale. Curve parametriche in R³. Curvatura e torsione. comandi Plot3D, ParametricPlot3D, Graphics3D.
Curve notevoli: Elica cilindrica, Elicoide, Asteroide. Esempi grafici della loro costruzione e animazioni con Mathematica.
La terna di riferimento di Frenet: versori tangente, normale e binormale. Movimenti rigidi nello spazio. Matrici di rotazione e di riflessione.
Curve in forma implicita. Curve su superfici. Coordinate cilindriche e sferiche. Spirale sferica, Lossodromiche sferiche.

Superfici:
Superfici parametriche in R³. Matrice Jacobiana. Il Gradiente. I comandi RegionPlot3D, SphericalPlot3D, RevolutionPlot3D, le opzioni Mesh e RegionFunction. Grafici di funzioni di 2 variabili. Intersezioni di superfici. Cupole e Volte.
Superfici notevoli: la Sfera, l'Ellissoide, il Toro, il Paraboloide e l'Iperboloide. Superfici tubolari, coniche e cilindriche.
Superfici in forma implicita. Superfici non orientabili: il nastro di Mobius, La bottiglia di Klein.
Determinazione dell'equazione di una superficie da un esempio architettonico tridimensionale. Le istruzioni grafiche Polygon, Cuboid, RegionPlot3D, GraphicsComplex.

Testo di riferimento: R. Caddeo, A. Gray Lezioni di geometria differenziale. Curve e Superfici. vol. 1 Cooperativa Universitaria Editrice Cagliaritana (2001)
(oppure nuova versione in inglese dallo stesso testo Alfred Gray, E. Abbena, S. Salamon Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition Chapman & Hall/CRC (2006))

Programma
Curve piane: Lo spazio euclideo. Curve parametriche in R². Lunghezza di un arco di curva. La curvatura. Esempi utilizzando il software Mathematica: comandi Plot, ParametricPlot, RegionPlot e relative opzioni; funzioni e vettori (f[x_]:= ... e comando Table). Curve piane famose: Cicloide, Epicicloide e Ipocicloide, Lemniscata, Cardioide, Catenaria, Cissoide. Esempi grafici della loro costruzione e animazioni con Mathematica: comandi Manipulate, Animate, istruzioni grafiche Show, Graphics, Point e Line opzioni Epilog e PlotStyle Determinazione dell'equazione di una curva su un profilo dato in una immagine: comandi Import, GraphicsRow con opzione Spacings. Curve in forma implicita. Coordinate polari. Spirali logaritmiche e di Archimede, il Lituus, il Folium di Cartesio, l'Ovale di Cassini. I comandi ImplicitPlot, PolarPlot, ContourPlot. Versore tangente e normale. Movimenti rigidi di una curva piana: traslazioni, rotazioni e riflessioni. Matrici di rotazione e di riflessione. Curve definite dalla curvatura. Comandi Derivative, Det, Inverse, Dot, Solve e NDSolve.
Curve nello spazio: Il prodotto vettoriale. Curve parametriche in R³. Curvatura e torsione. comandi Plot3D, ParametricPlot3D, Graphics3D. Curve notevoli: Elica cilindrica, Elicoide, Asteroide. Esempi grafici della loro costruzione e animazioni con Mathematica. La terna di riferimento di Frenet: versori tangente, normale e binormale. Movimenti rigidi nello spazio. Matrici di rotazione e di riflessione. Curve in forma implicita. Curve su superfici. Coordinate cilindriche e sferiche. Spirale sferica, Lossodromiche sferiche.
Superfici: Superfici parametriche in R³. Matrice Jacobiana. Il Gradiente. I comandi RegionPlot3D, SphericalPlot3D, RevolutionPlot3D, le opzioni Mesh e RegionFunction. Grafici di funzioni di 2 variabili. Intersezioni di superfici. Cupole e Volte. Superfici notevoli: la Sfera, l'Ellissoide, il Toro, il Paraboloide e l'Iperboloide. Superfici tubolari, coniche e cilindriche. Superfici in forma implicita. Superfici non orientabili: il nastro di Mobius, La bottiglia di Klein. Determinazione dell'equazione di una superficie da un esempio architettonico tridimensionale. Le istruzioni grafiche Polygon, Cuboid, RegionPlot3D, GraphicsComplex.
Testo di riferimento: R. Caddeo, A. Gray Lezioni di geometria differenziale. Curve e Superfici. vol. 1 Cooperativa Universitaria Editrice Cagliaritana (2001) (oppure nuova versione in inglese dallo stesso testo Alfred Gray, E. Abbena, S. Salamon Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition Chapman & Hall/CRC (2006))