Dipartimento di Matematica

Roma TRE


 

Ultimo aggiornamento       Gennaio 2012

AL410 - Algebra commutativa
A.A. 2011/2012 - I Semestre

Docente: Marco Fontana

 
DM, Stanza 204 tel. 06 5733 8232

e-mail: fontana(at)mat.uniroma3.it

  

   

   

 

Sommario

  • Preiscrizione ed Iscrizione telematica al corso: obbligatoria              web studenti 
  • Orario delle lezioni: MA ore 13:30-15, GI ore 14-16  

    per lezioni di recupero o seminari LU ore 11-13

  • Orario di ricevimento (I Semestre 2011/12): MA ore 13-14 oppure per appuntamento da fissare via email

    Scheda del corso (dal Diploma Supplement)

    Avvisi - Bacheca elettronica del corso

    Diario delle lezioni

    Appunti on-line di corsi di introduzione all’algebra commutativa ed altri links utili

    Valutazione in itinere - Seminari - Esoneri

    Programma d'esame 

    Calendario e Prove d'esame 

 

 

 

  

Scheda del corso

Moduli. Ideali. Anelli e moduli di frazioni. Anelli locali. Anelli e moduli noetheriani. Teorema della base (BasisSatz) di Hilbert. Dipendenza integrale. Anelli di valutazione. Teorema di Krull (chiusura integrale e valutazioni). Teorema degli zeri (NullstellenSatz) di Hilbert. Domini di Dedekind. Anelli e moduli artiniani. Spettro primo di un anello e topologia di Zariski.

Ulteriori argomenti potranno essere svolti in accordo con gli studenti frequentanti.
Il corso è rivolto agli studenti della laurea triennale e magistrale ed è particolarmente indicato per coloro che intendano approfondire tematiche di algebra, geometria algebrica e teoria dei numeri.


 

  

Crediti: 7                                                           I Semestre                                             Prerequisiti: AL210 (ex-AL2)

                                        
Insegnamento valido per la PFA (Prova Fine di tipo A)

  

 

Bibliografia essenziale

  • M.F. Atiyah - I.G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969. Edizione in italiano con note di P.Maroscia, Feltrinelli, 1981.
  • H. Li, An introduction to commutative algebra (from the viewpoint of normalization), Word Scientific Publishing Company, 2004.

Ulteriori riferimenti bibliografici

  • Nicolas Bourbaki, Algèbre Commutative, Chapitres 1-9, Hermann, Paris, 1961 ....
  • Arthur Chatters, C. R. Hajarnavis, Charudatta Hajarnavis, An Introductory Course in Commutative Algebra, Oxford Univ Press, 1998.
  • David A. Cox, John B. Little, Donal O'Shea, Ideals, Varieties, And Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry And Commutative Algebra, Springer Verlag, 2007.
  • D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer, 1995.
  • R. Gilmer, Multiplicative Ideal theory, Dekker, New York, 1972.
  • I. Kaplansky, Commutative rings (revised edition), The University of Chicago Press, Chicago, 1974.
  • Manfred Knebusch, Digen Zhang, Manis Valuations and Prufer Extensions I: A New Chapter in Commutative Algebra, Springer 2002.
  • E. Kunz, Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Bikhauser, Berlin, 1985.
  • H. Matsumura, Commutative Algebra,W. A. Benjamin, 1970.
  • H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1989.
  • M. Reid, Undergraduate commutative algebra, LMS Student Texts, Cambridge 1995.
  • R.Y. Sharp, Steps in commutative algebra, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
  • I. Swanson, C. Huneke: Integral closure of ideals, rings, and modules. Cambridge Univ. Press, 2006.
  • John J. Watkins, Topics in Commutative Ring Theory, Princeton University Press, 2007.
  • O. Zariski and P. Samuel, Commutative Algebra, Van Nostrand, 1958-1960 (reprinted, Springer 1975-1977)

 

 

 

 

  

 

  

 Avvisi - Bacheca elettronica del corso                             

  • Nella riunione organizzativa del 20 settembre è stato deciso di modificare l'orario delle lezioni. Nuovo orario

MA ore 13:30-15, GI (invariato) ore 14-16.

 

 

Avvisi precedenti

  • Inizio delle lezioni e riunione organizzativa: martedì 20 Settembre 2010, ore 14:15.
  • A seguito della riunione organizzativa del 20 Settembre è stato deciso che la prima lezione avrà luogo

    Martedi 27 Settembre ore 13:30 (ATTENZIONE: orario anticipato) Aula 009

(pertanto Giovedi 22 Settembre non ci sarà lezione)

  • IMPORTANTE: Pre-iscrizione telematica al corso obbligatoria è in scadenza sul web studenti

web studenti

  • Iscrizione telematica al corso (conferma della pre-iscrizione telematica) obbligatoria sul web studenti (entro il 5 Ottobre).  

        web studenti

 

 

 

  

    Diario delle lezioni

I Settimana.

Introduzione al corso. Richiami sulla teoria degli anelli ed omomorfismi nel caso di anelli commutativi unitari.
Ideali, ideali primi e massimali. Ideali finitamente generati, ideali principali. Divisori dello zero, idempotenti, nilpotenti, elementi inversibili. Anelli locali: esempi e criteri.

  

II Settimana.

Parti moltiplicative e parti moltiplicative saturate. Ideali massimali nell'insieme degli ideali disgiunti da una parte moltiplicativa. Caratterizzazione delle parti moltiplicative saturate.
Localizzazioni. Esempi. Divisori dello zero e parti moltiplicative. Ideali ed ideali primi in un anello di frazioni. Esempi.

 

  

III Settimana.

Un dominio e' un UFD se e soltanto se ogni ideale primo contiene un elemento primo.
Nilradicale e radicale primo (o radicale dell'ideale (0)). Anello ridotto ed ideali primi di un anello ridotto.
Radicale di Jacobson. Esempi e prime proprieta'. Operazioni tra ideali ed esempi.
Distributivita' delle operazioni tra ideali. Teorema Cinese dei Resti per anelli commutativi e caso classico nell'anello degli interi.

  

IV Settimana.

Moduli su un anello. Esempi e prime proprieta'. Hom_A(M, N) e dualita'. Moduli finitamente generati. Moduli liberi. Teorema fondamentale di omomorfismo tra moduli.
Teorema di Cayley-Hamilton per A-moduli finitamente generati. Lemma di Nakayama: varie formulazioni.

  

V Settimana.

Topologia di Zariski nello spazio affine su un campo. La topologia di Zariski sullo spettro primo di un anello: chiusi, aperti e base di aperti quasi-compatti. Applicazioni spettrali: continuita', immersioni aperte e chiuse. Chiusura di un sottospazio dello spettro primo.

Punti chiusi e sottospazi irriducibili di Spec(A). Spec(A) e' uno spazio T_0 , ma non T_1. Quasi-compattezza. Composizione di applicazioni spettrali associate ad omomorfismi di anelli. Densita' dell'immagine nella applicazione spettrale associata ad un omomorfismo iniettivo.

 

  

VI Settimana.

Prodotto tensoriale di moduli: proprieta' universale e sua costruzione. Prime proprieta' del prodotto tensoriale ed esempi. Alcuni esempi di prodotto tensoriale: caso del prodotto tensoriale su Z di Z/nZ con Z/mZ.

 

VII Settimana.
Dipendenza integrale. La chiusura integrale e' integralmente chiusa. Proprieta' delle estensioni intere: stabilita' per passaggio agli anelli-quoziente ed agli anelli di frazioni.
Estensioni intere ed ideali massimali. Teorema del "Lying Over" e Teorema del "Going-Up" di Cohen-Seidenberg.

  

VIII Settimana.

Cenni al Teorema dell'Incomparabilità ed al Teorema del "Going-down".
Per ogni dominio D si ha D = ∩ D_M, M ideale massimale di D. Un dominio e' integralmente chiuso se e soltanto se lo e' localmente.  Anelli di valutazione. Prime proprieta' ed esempi. Sopraanelli di anelli di valutazione. Anelli di valutazione ed anelli integralmente chiusi. Lemma u, u^{-1}.

Anelli di valutazione ed elementi massimali negli insiemi di domini locali. Teorema di Krull: un dominio integralmente chiuso e' intersezione dei suoi sopraanelli di valutazione.

  

IX Settimana.

Introduzione al Teorema degli zeri di Hilbert.

Teorema degli zeri di Hilbert (forma "debole" e forma "forte" ): Esempi ed applicazioni. Cenni di dimostrazione.

  

X Settimana.

Valutazioni discrete ed anelli associati. Un anello di valutazione discreta e' associato ad una valutazione discreta. Domini di valutazione discreta e domini di Dedekind.

  

XI Settimana.

Esempi di domini di Dedekind. In un dominio di Dedekind ogni ideale proprio possiede una presentazione come prodotto di un numero finito di ideali potenze di ideali primi (=massimali). Esempi. Ogni PID e' un Dominio di Dedekind.

  

XII Settimana.

Seminari di valutazione in itinere.

 

  


 

  Appunti on-line di corsi di introduzione all’algebra commutativa ed altri links utili                              

 

I. Fesenko: Commutative algebra  
This course is an introduction to modules over rings, Noetherian modules, unique factorization domain and polynomial rings over them, modules over principal ideal domains, localization [pdf file 202K].

R.B. Ash: A course in commutative algebra 

Preface Table of Contents

Chapter 0 Ring Theory Background (7 pp.)

Chapter 1 Primary Decomposition and Associated Primes (15 pp.)

Chapter 2 Integral Extensions (9 pp.)

Chapter 3 Valuation Rings (9 pp.)

Chapter 4 Completion (10 pp.)

Chapter 5 Dimension Theory (15 pp.)

Chapter 6 Depth (4 pp.)

Chapter 7 Homological Methods (8 pp.)

Chapter 8 Regular Local Rings (3 pp.)

Exercises (7 pp.)

Solutions (8 pp.)

List of Symbols

Index

Sudhir R. Ghorpade: Commutative Algebra Lecture Notes  

Contents

1 Rings and Modules 3
1.1 Ideals and Radicals 3
1.2 Polynomial rings and Localization of rings 8
1.3 Modules 11
1.4 Zariski Tolpology 12
Exercises 14
2 Noetherian Rings 17
2.1 Noetherian Rings and Modules 17
2.2 Primary Decomposition of Ideals 19
2.3 Artinian Rings and Modules 23
2.4 Krull's Principal Ideal Theorem 27
Exercises 14
3 Integral Extensions 32
3.1 Integral Extensions 32
3.2 Noether Normalization 35
3.3 Finiteness of Integral Closure 38
Exercises 42
4 Dedekind Domains 44
4.1 Dedekind Domains 45
4.2 Extensions of Primes 50
Exercises 42
A Appendix: Primary Decomposition of Modules 55
A.1 Associated Primes of Modules 55
A.2 Primary Decomposition of Modules 58
Exercises 62
References

C. Procesi: Algebra Commutativa 

Appunti di Algebra commutativa (versione 23-5-2002)

Contenuto: Teoria della dimensione; Grado di Trascendenza; Polinomi di Hilbert; Dimensione di Krull; Anelli regolari e singolari; Molteplicitµa. Successioni regolari ad anelli di Cohen-Macaulay; Completamenti. Metodi omologici; Introduzione agli schemi; Topologa di Zariski; Fasci di anelli e moduli; Il linguaggio dei funtori; Discesa fedelmente piatta. Morfismi étale, piatti e lisci; Differenziali algebrici; Algebre étale; Anelli Henseliani; Introduzione alle topologie di Grothendieck; La topologia étale.

R. Strano: Appunti di Algebra Commutativa


D. R. Wilkins (Trinity College, Dublin ): Topics in Commutative Algebra     .pdf 


A. Chambert-Loir (Université de Rennes ): Algèbre commutative, Cours de master de mathématiques     .pdf

 

M. Barile (Università di Bari): Appunti di Algebra Commutativa   

       

 


 

Valutazione in itinere - seminari - "esoneri"                               

La valutazione del profitto verrà  effettuata di preferenza durante il semestre. Gli studenti frequentanti saranno invitati ad effettuare almeno un seminario di approfondimento su tematiche collegate a quelle svolte a lezione.

Gli studenti che hanno sostenuto con esito positivo, nel corso del semestre, le prove di valutazione parziale (seminari e prove scritte) accedono direttamente al colloquio di verbalizzazione del voto proposto dal docente, da effettuarsi durante la I Sessione di esame (Appello A o B ).

Per tutti gli studenti che non si avvalgono della possibilità della valutazione del profitto durante il corso, l'esame finale consiste in una prova scritta (comprendente anche domande di tipo teorico) o/e orale.

Seminari                              

   

Elenco di argomenti da assegnare

  • 10 Novembre 2011 -  Enrica Gonzalez: Sottomoduli e moduli-quoziente. Operazioni tra moduli. Successioni esatte
    [ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp.18-20 e 22-24]
  • 17 Novembre 2011 -  Francesco Salustri: Ideali primi in anelli di polinomi
    [ I. Kaplansky "Commutative rings ", pp. 25-27]
  • 24 Novembre 2011 - Francesco Quinzam: Prodotti tensoriali (complementi). Esattezza (a destra) del prodotto tensoriale. Prodotto tensoriale di algebre
    [ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp. 25-31]
  • 1 Dicembre 2011 - Francesco Salustri: Il Teorema del "going-down" (GD). Approfondimento delle relazioni tra  GU, INC e LO.
    [ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp. 63-64 e I. Kaplansky "Commutative rings ", pp. 28-32]
  • 6 Dicembre 2011 - Anne Vollweiler: Applicazioni del BasisSatz di Hilbert: Struttura degli insiemi algebrici, varietà algebriche, irriducibilità
    [ D. R. Wilkins: "Topics in Commutative Algebra" (notes on-line), pp. 21-31]
  • 13 Dicembre 2011 - Francesco Quinzam: Moduli di frazioni: prime proprietà
    [ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp. 38-43]
  • 15 Dicembre 2011 - Enrica Gonzalez: Condizioni sulle catene e moduli noetheriani
    [ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp. 74-78]

N.B. Le indicazioni bibliografiche sono minimali, da integrare con altre fonti bibliografiche (sia tradizionali che on-line) indicate nella bibliografia del corso.

 

 

 

  

Programma d'esame                            

 

Calendario e Prove d'esame                              

  • Appello A:  16 gennaio 2012
  • Appello B:  1 febbraio 2012
  • Appello C:  19 giugno 2012