AL2, I Semestre, Crediti 7,5

AL2 Algebra (2^{0} Modulo) A.A. 2004/2005

Prof. Stefania Gabelli Gruppi e Anelli

1. Gruppi Operazioni binarie e loro proprietà. Elementi neutri e simmetrizzabili. Unicità

dell’elemento neutro e del simmetrico di un elemento. Notazione additiva e moltiplicativa.

Gruppi. Il gruppo additivo (Z_{n}) delle classi resto modulo n. Il gruppo moltiplicativo (U(Z_{n}), ·).

Il gruppo delle corrispondenze biunivoche di un insieme in se stesso. Il gruppo S_{n}: decomposizione di una permutazione in cicli disgiunti, parità, ordine, classi coniugate.

Ordine di un gruppo. Gruppi finiti. Tabelle di moltiplicazione. Gruppi di Klein. Gruppi diedrali. Il gruppo delle unit dei quaternioni.

Sottogruppi. Potenze di un elemento. Sottogruppi generati da un sottoinsieme. Sottogruppi generati da un elemento. Ordine di un elemento. I sottogruppi di Z.

Gruppi ciclici. Generatori di un gruppo ciclico. I sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici.

Classi laterali di un sottogruppo. Teorema di Lagrange. Teorema di Eulero-Fermat. Sottogruppi normali. Centro di un gruppo. Gruppo quoziente. Omomorfismi tra gruppi. Immagine e nucleo di un omomorfismo. Relazione di

equivalenza associata al nucleo. Controimmagine di un elemento.

Teorema di decomposizione di un omomorfismo tra gruppi. Teorema di isomorfismo. Ogni gruppo ciclico è isomorfo a Z oppure a Z_{n} , per un opportuno n. Corrispondenza tra sottogruppi tramite un omomorfismo. Automorfismi di un gruppo. Omomorfismi e automorfismi di gruppi ciclici. Coniu-

gio e automorfismi interni. Teorema di Cayley.

2. Anelli Anelli. Elementi invertibili e zero divisori. Anelli commutativi, unitari, integri. Domini. Campi. Anelli e campi di numeri. L’anello Z_{n} e il campo Z_{p} , p primo. Sottoanelli. Ideali. Ideali generati da un sottoinsieme e ideali principali. Ideali di

anelli di polinomi. Ideali primi e massimali.

Classi laterali di un ideale. Anelli quoziente. Quozienti di anelli di polinomi. Omomorfismi tra anelli. Immagine e nucleo di un omomorfismo. Relazione di

equivalenza associata al nucleo. Controimmagine di un elemento.

A.A. 2004/2005, I Semestre  AL2  Crediti 7,5

Teorema di decomposizione di un omomorfismo tra anelli. Teorema di isomorfismo. Corrispondenza tra ideali tramite un omomorfismo.

Caratteristica di un anello e di un campo. Sottocampo fondamentale. Campo dei quozienti di un dominio. Divisibilità in un dominio. MCD e mcm. Domini euclidei. Un dominio euclideo è a

ideali principali e a fattorizzazione unica.

Applicazione della teoria degli anelli euclidei ad anelli di polinomi a coefficienti in un campo e all’anello Z[i].

Il Lemma di Gauss. Anelli di polinomi su domini a fattorizzazione unica. Estensioni di campi. Elementi algebrici e trascendenti. Estensioni semplici di campi

numerici. Il campo di spezzamento di un polinomio a coefficienti numerici. Estensioni semplici simboliche. Costruzione di radici di polinomi.

Testi consigliati

[1] G.M. Piacentini Cattaneo, Algebra, un approccio algoritmico. Decibel - Zanichelli, (1996).

[2] S. Gabelli - F.Girolami, Anelli di Polinomi. Dispense, (2004).

[3] M. Fontana - S. Gabelli, Esercizi di Algebra. Aracne, (1993).

[4] M. Artin, Algebra. Bollati - Boringhieri, (1997).

[5] I.N. Herstein, Algebra. Editori Riuniti, (2004).

Modalità d’esame

- valutazione in itinere (“esoneri”)  SI  NO
- esame finale  scritto  SI  NO
orale  SI  NO
- altre prove di valutazione del profitto  SI  NO

(meglio descritte sotto)

L’esame finale consiste di una prova scritta e di un colloquio orale, volto ad accertare l’acquisizione da parte dello studente dei concetti e dei metodi illustrati nel corso.

Sono previste due prove scritte di valutazione intermedia (esoneri): gli studenti che abbiano conseguito la sufficienza in entrambe queste prove sono esonerati dal sostenere la prova di esame scritta purché accedano alla prova orale negli appelli della prima sessione utile (appelli A e B).

La prenotazione agli esami è obbligatoria.