Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2004/2005 AL2 - Gruppi, Anelli e Campi Prof. S. Gabelli Tutorato 1

1. Si consideri in ℤ l’operazione definita da

a ⋆ b := a^{2} + b.

- Stabilire se l’operazione ⋆ è associativa o/e commutativa;

- Stabilire se esiste in ℤ un elemento neutro a destra o/e a sinistra rispetto all’operazione ⋆;

- Stabilire se vale la legge di cancellazione a destra o/e a sinistra.

2. Sia A un insieme con tre elementi. Si definisca su A una operazione ⋆ che sia commutativa ma non associativa in modo tale che la struttura algebrica (A, ⋆) risulti dotata di elemento neutro e contenga un elemento simmetrizzabile che ha simmetrici distinti.

3. Siano S un semigruppo unitario e a ∈ S. Mostrare che a è è simmetrizzabile se e soltanto se le due applicazioni μ_{a} : S ⟶ S, x → xa e aμ : S ⟶ S, x → ax sono biiettive.

4. Mostrare che i seguenti sottoinsiemi di M(n, ℝ) sono gruppi rispetto alla moltiplicazione righe per colonne:

- Gl(n, ℝ) = {A ∈ M(n, ℝ); detA ≠ 0} (gruppo lineare generale di grado n);

- SL(n, ℝ) = {A ∈ M(n, ℝ); detA = 1} (gruppo lineare speciale di grado n);

- O(n, ℝ) = {A ∈ M(n, ℝ); A^{−1} = A^{t}} (gruppo ortogonale di grado n);

- SO(n, ℝ) = SL(n, ℝ) ∩ O(n, ℝ) (gruppo ortogonale speciale di grado n).

Questi gruppi sono commutativi? Sono gruppi rispetto all’addizione?

5. Sia A un insieme e sia F := A^{A} l’insieme di tutte le applicazioni f : A ⟶ A.

• Mostrare che F è un semigruppo rispetto alla composizione di funzioni (o prodotto operatorio) e determinare il gruppo U(F) degli elementi invertibili di F.

• Se A ha tre elementi, determinare la tabella moltiplicativa di U(F) ed il centro di U(F).

6. Sia V l’insieme dei vettori nello spazio ordinario. Se w ∈ V sia τ_{w} : V ⟶ V, v → v + w, la traslazione definita da w.

Mostrare che l’insieme delle traslazioni T = {τ_{w}; w ∈ V } è un gruppo rispetto alla composizione di funzioni.

7. Determinare il centro del semigruppo moltiplicativo dell’anello M(2, ℝ).

8. Determinare gli elementi invertibili (dei semigruppi moltiplicativi) degli anelli ℤ[X], M(n, ℤ).

9. Siano (A, ⋆) e (B, ∘) due (semi)gruppi. Mostrare che A × B è un (semi)gruppo rispetto all’operazione definita da:

(a, b)(a′, b′) := (a ⋆ a′, b ∘ b′).

Mostrare inoltre che Z(A×B) = Z(A)×Z(B) (dove con Z(S) si indica il centro del semigruppo S).

Concludere che A × B è un semigruppo commutativo se e soltanto se A e B sono entrambi semigruppi commutativi.

10. Si scrivano i seguenti numeri complessi, i loro coniugati ed i loro inversi in forma trigonometrica, ovvero nella forma ρ(cos θ + i sin θ), con ρ ∈ ℝ^{+}, e 0 < θ ≤ 2π:

5, −3i, 1 + i, −\sqrt{3} + i.

11. Determinare il gruppo delle radici n-sime dell’unità per n = 3, 4, 5, 6.

Verificare che tale gruppo è ciclico e determinare i suoi generatori.

12. Siano:

U = {z ∈ ℂ; |z| = 1} e V = {z ∈ ℂ; esiste n ≥ 1 tale che z^{n} = 1}.

Mostrare che U è un gruppo rispetto alla moltiplicazione e che V è un sottogruppo di U.