Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2004/2005 AL2 - Gruppi, Anelli e Campi (Prof. S. Gabelli) Tutorato 4

1. Verificare che, se S è un insieme e A e’ un anello (commutativo unitario), allora l’insieme A^{S} di tutte le funzioni da S ad A è un anello con le operazioni ”puntuali” definite da

(f + g)(s) = f(s) + g(s) ; (fg)(s) = f(s)g(s).

2. Verificare che l’insieme

F = \{(\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix}) ; a, b ∈ ℤ_{3}\}

è un campo, rispetto alle usuali operazioni di somma e moltiplicazione di matrici.

3. Verificare che i seguenti insiemi numerici sono anelli:

ℤ[i] = {a + bi, a, b ∈ ℤ}; ℚ[i] = {a + bi, a, b ∈ ℚ};
ℤ[\sqrt[3]{2}] = \{a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4} ; a, b, c ∈ ℤ\}

Quali tra essi sono campi?

4. Si considerino le seguenti matrici di GL_{2}(ℂ)

1 = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}); i = (\begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix}); j = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}); j = (\begin{matrix}0 & −i \\ −i & 0 \end{matrix}).

Sappiamo che valgono le relazioni:

i^{2} = j^{2} = k^{2} = ijk = −1 e ij = k = −ji.

Sia

H = {a1 + bi + cj + dk ; a, b, c, d ∈ ℝ}

Se q = a1 + bi + cj + dk poniamo \overline{q} = a1 − bi − cj − dk.

Mostrare che H è un sottoanello di M_{2}(ℂ). Inoltre, se q ≠ 0, allora

(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})^{−1}q\overline{q} = 1.

Dedurne che H è un anello unitario e integro ma non commutativo in cui ogni elemento non nullo ha un inverso.

H si chiama l’algebra dei quaternioni reali.

5. Dimostrare che in un anello integro valgono le Leggi di Cancellazione:

ax = ay ⇒ x = y ; xa = ya ⇒ x = y , per ogni a ≠ 0.

6. Determinare l’insieme degli elementi invertibili e degli zero divisori dell’anello ℤ_{n} per 2 ≤ n ≤ 15.

7. Un elemento a di un anello A si dice idempotente se a^{2} = a.

Mostrare che, se A è integro, allora gli unici elementi idempotenti di A sono 0 e 1 .

8. Determinare gli elementi invertibili e gli elementi idempotenti dell’anello M_{2}(ℤ_{2}) delle matrici quadrate ad elementi in ℤ_{2}.

9. Mostrare che A è un sottoanello di ℤ_{n} se e soltanto se A = d̄ℤ_{n}, dove d è un divisore di n.

10. Sia f(X) uno dei seguenti polinomi:

15X; 15X + 3 ; 6X^{2} − 5X + 1 ; 6X^{3} − 7X^{2} − X + 2.

Determinare esplicitamente tutti i divisori di f(X) in ℤ[X] e ℚ[X] e ripartirli in classi di polinomi associati.

11. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false in ℤ[X] e ℚ[X] .

(a) 5X divide 3X^{2} ;

(b) X − 3 divide X^{3} − 3X^{2} + X − 3 ;

(c) 3(X − 3) divide X^{3} − 3X^{2} + X − 3 .

12. Sia

f(X) := 7X^{7} + 6X^{6} + 5X^{5} + 4X^{4} + 3X^{3} + 2X^{2} + X + 1.

Calcolare f(2) .

13. Utilizzando l’Algoritmo Euclideo della divisione, determinare il massimo comune divisore monico delle seguenti coppie di polinomi ed una identità di Bezout per esso:

f(X) := X^{5} + \overline{1} ; g(X) := \overline{3}X^{3} + \overline{1} ∈ ℤ_{5}[X];

f(X) := X^{5} − \frac{1}{3}X^{4} − \frac{1}{2}X + \frac{1}{6} ; g(X) := X^{3} + \frac{2}{3}X^{2} + \frac{2}{3}X − \frac{1}{3} ∈ ℚ[X].

14. Stabilire se i seguenti polinomi sono irriducibili rispettivamente in ℤ[X] , ℚ[X] , ℝ[X] , ℂ[X] :

21X + 3 ; X^{2} + X + 3 ; X^{3} − 1 ; 2X^{4} + 5X^{2} + 2.

15. Stabilire se i seguenti polinomi sono irriducibili in ℤ_{5}[X] :

\overline{3}X^{2} + \overline{2}X + \overline{2} ; X^{3} + \overline{3}X^{2} + \overline{3}X + \overline{2} ; X^{4} + \overline{2}X^{3} + \overline{2}X^{2} + \overline{2}X + \overline{1}.

16. Scomporre i seguenti polinomi in fattori irriducibili in ℝ[X] e ℂ[X]:

X^{4} + 1 ; X^{5} − 1 ; X^{6} − 1 ; X^{6} − 8.

17. Determinare le radici razionali del polinomio

f(X) = 2X^{4} − 5X^{3} + 4X^{2} − 5X + 2 ∈ ℤ[X].

18. Sia A un dominio di integrità. Dimostrare che il polinomio p(X) ∈ A[X] è irriducibile su A se e soltanto se lo è ogni suo polinomio associato.

19. Siano

f(X) = X^{5} + \overline{3}X^{3} + X^{2} + \overline{2}X + \overline{2} e g(X) = X^{4} + \overline{3}X^{3} + \overline{3}X^{2} + X + \overline{2}.

Determinare gli ideali (f(X)) ∩ (g(X)) e (f(X)) + (g(X)).

20. Verificare che le seguenti applicazioni sono omomorfismi di anelli e determinarne Nucleo ed Immagine: φ : ℤ[X] ⟶ ℤ ; f(X) → f(0); φ : ℤ[X] ⟶ ℤ_{n} ; f(X) → \overline{f(0)}; φ : ℤ[X] ⟶ ℤ_{n} ; ∑ a_{i}X^{i} → ∑ \overline{a_{i}}X^{i}; φ : ℚ[X] ⟶ ℂ ; f(X) → f(i); φ : ℚ[X] ⟶ ℝ ; f(X) → f(\sqrt[3]{2}).