Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2004/2005 AL2 - Gruppi, Anelli e Campi (Prof. S. Gabelli) Tutorato 6

1. Sia fissata la matrice : α = (\begin{matrix}0 & 5 \\ 1 & 0 \end{matrix}) ∈ M_{2}(ℚ) e sia I = α^{0} la matrice

identità di M_{2}(ℚ) .

Si consideri l’applicazione:

ϕ : ℚ[X] ⟶ M_{2}(ℚ) , ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} → ∑_{i=0}^{n} a_{i}α^{i}.

Verificare che ϕ è un omomorfismo di anelli ed esplicitare Im(ϕ) e Ker(ϕ). Stabilire infine se Im(ϕ) è un campo.

2. Sia A un dominio e sia I un ideale di A. Mostrare che

(a) L’insieme I[X] dei polinomi a coefficienti in I è un ideale di A[X].

(b) Se P è un ideale primo di A, l’ideale P [X] è primo in A[X]. In particolare, un elemento primo di A è primo anche in A[X].

(Suggerimento: Considerare l’omomorfismo A[X] ⟶ \frac{A}{P}[X] definito da a_{0} + a_{1}X + … + a_{n}X^{n} → (a_{0} + P) + (a_{1} + P)X + … + (a_{n} + P)X^{n})

(c) Un elemento di A è irriducibile in A[X] se e soltanto se lo è in A.

3. Sia A un dominio euclideo rispetto alla valutazione v : A ⟶ ℕ. Mostrare che

(a) v(1) ≤ v(a), per ogni a ∈ A^{∗}.

(b) a ∈ A^{∗} è invertibile se e soltanto se v(a) = v(1).

(c) Se a e b sono associati in A, allora v(a) = v(b).

(d) Se a, b ∈ A^{∗} sono tali che a divide b e v(a) = v(b), allora a e b sono associati.

(e) Se a, b ∈ A^{∗} e b non è invertibile, allora v(a) < v(ab).

4. Effettuare la divisione euclidea di 13 + 18i per 5 + 3i in ℤ[i]. Mostrare che i possibili quozienti (e rispettivi resti) sono quattro.

5. Usando l’algoritmo delle divisioni successive, determinare un massimo comune divisore di 5 + 3i e 13 + 18i in ℤ[i] ed una identità di Bezout per esso.

6. Si considerino in ℤ[i] gli ideali I = (1+3i) e J = (3−3i) . Determinare gli ideali I + J , IJ e I ∩ J .

7. Sia α ∈ ℤ[i] . Dimostrare che se la norma di α è un numero primo, allora l’anello quoziente ℤ[i]/(α) è un campo.

8. Sia p ∈ ℤ un numero primo. Mostrare che l’applicazione:

\frac{ℤ[i]}{(p)} ⟶ \frac{ℤp[X]}{(X^{2} + 1)} definita da a + bi + (p) → ā + b̄X + (X^{2} + 1)

è un isomorfismo di anelli. Dedurne che p è irriducibile in ℤ[i] se e soltanto se il polinomio X^{2} + 1 è

irriducibile in ℤp[X].

9. Determinare esplicitamente tutti gli elementi di:

\frac{ℤ[i]}{(1 + i)} , \frac{ℤ[i]}{(3)} , \frac{ℤ[i]}{(2 + i)} .

10. Fattorizzare in elementi irriducibili i seguenti elementi di ℤ[i]:

6 , 10 , 13 , 21 , 3 + 4i , −3 + 8i , 11 + 3i .

11. Sia t ∈ ℤ tale che | t | non abbia fattori quadratici e sia ℤ[\sqrt{t}] = \{a + b\sqrt{t} | a; b ∈ ℤ\}. Se α = a + b\sqrt{t}, definiamo la norma di α come N(α) = (a + b\sqrt{t})(a − b\sqrt{t}) = a^{2} − b^{2}t.

Mostrare che:

(a) ℤ[\sqrt{t}] è un sottoanello di ℂ.

(b) N(αβ) = N(α)N(β), per ogni α, β ∈ ℤ[\sqrt{t}];

(c) α ∈ ℤ[\sqrt{t}] è invertibile se e soltanto se N(α) = ±1;

(d) α, β ∈ Z[\sqrt{t}] sono associati se e soltanto se α divide β e N(α) = N(β);

(e) Se | N(α) | è un numero primo, allora α è irriducibile in Z[\sqrt{t}];

(f) 7 è irriducibile in Z[\sqrt{5}] (benché N(7) = 49 non sia primo).

12. Determinare i fattori irriducibili di 9 in ℤ[\sqrt{−5}] e ℤ[\sqrt{10}].

13. Determinare i fattori irriducibili di 8 in ℤ[\sqrt{−7}] .

14. Dimostrare che, nell’anello ℤ[\sqrt{−6}], gli elementi 5 e 2 + i\sqrt{6} hanno massimo comune divisore uguale ad 1 , ma per 1 non esiste una identità di Bezout.

Dimostare poi che gli elementi 10 e 4 + 2i\sqrt{6} non hanno massimo comune divisore.

L’anello ℤ[\sqrt{−6}] è a fattorizzazione unica?