Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005 AL2 - Algebra 2 - gruppi, anelli e campi Prova di Esame - Appello A 24 gennaio 2005

Cognome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−} Nome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Numero di matricola_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Avvertenza: Svolgere il maggior numero di esercizi nello spazio assegnato, senza consegnare altri fogli e giustificando tutte le affermazioni fatte. Non è consentito l’uso di libri, appunti e calcolatrici.

1. Determinare le classi coniugate del gruppo diedrale D_{4} delle isometrie del quadrato.

2. Determinare il gruppo G = Aut(ℤ_{31}) degli automorfismi di (ℤ_{31}, +) e tutti i sottogruppi di G.

3. Determinare gli ideali primi e massimali dell’anello quoziente \frac{ℤ[i]}{(6)}. 4 4. Si consideri l’insieme A = ℤ_{7} × ℤ_{7} in cui sono definite le seguenti

operazioni:

(a, b) + (a′, b′) = (a + a′, b + b′) ; (a, b)(a′, b′) = (aa′ + 5bb′, ab′ + a′b).

Rispetto a queste operazioni, A è un anello commutativo unitario con unità 1 = (1, 0).

(a) Dimostrare che l’applicazione

φ : ℤ_{7}[X] ⟶ A definita da ∑ a_{i}X^{i} → ∑(a_{i}, 0)(0, 1)^{i}

è un omomorfismo di anelli;

(b) Determinare Nucleo ed Immagine di φ ed applicare il Teorema di Omomorfismo per gli anelli;

(c) Usando il punto precedente, mostrare che A è un campo, ampliamento semplice di ℤ_{7}, e determinare esplicitamente un elemento α di A tale che A = ℤ_{7}(α). Quanti elementi ha A?