Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005 AL2 - Algebra 2 - Gruppi, Anelli e Campi Prova di Esame - Appello C 13 Giugno 2005

Cognome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−} Nome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Numero di matricola_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Avvertenza: Svolgere gli esercizi nello spazio assegnato, senza consegnare altri fogli e giustificando tutte le affermazioni fatte. Non è consentito l’uso di libri, appunti e calcolatrici.

1. Sia G il gruppo delle unità dell’anello ℤ_{20}. Verificare che [9]_{20} ∈ G e stabilire se il gruppo quoziente \frac{G}{[9]_{20}G} è ciclico.

2. Siano Q il gruppo delle unità dei quaternioni e K il gruppo di Klein. Determinare un omomorfismo non nullo di gruppi f : Q ⟶ K.

3. Sia ℤ[i] = {a + bi; a, b ∈ ℤ} ⊆ ℂ l’anello degli interi di Gauss.

(a) Verificare che l’applicazione

ϕ : ℤ[i] → ℤ_{2} definita da ϕ(a + bi) = [a + b]_{2}

è un omomorfismo suriettivo di anelli.

(b) Determinare un generatore di Kerϕ e definire esplicitamente un

isomorfismo

\frac{ℤ[i]}{Kerϕ} → ℤ_{2}.

4. Sia α = 1 + \sqrt[3]{2}. (a) Determinare il polinomio minimo di α su ℚ;

(b) Descrivere gli elementi del campo ℚ(α);

(c) Determinare una base di ℚ(α) su ℚ;

(d) Calcolare l’inverso di α in ℚ(α).