Università degli studi di Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005

AL2 - Algebra 2, gruppi anelli e campi Esercizi 22 ottobre 2004

1 Gruppi e Quozienti

1. Prodotto semidiretto Sia G un gruppo, H e N sottogruppi con N normale. Sia γ_{x} la coniugazione per l’elemento x ∈ G.

(a) Dimostrare che l’applicazione

\begin{aligned}f : & H & ↦ & Aut(N) \\ & x & ↦ & γ_{x} \end{aligned}

è un omomorfismo.

(b) Se H ∩ N = {e}, dimostrare che la applicazione H × N ↦ HN data da (x, y) ↦ xy è una biezione, e che questa applicazione è un isomorfismo se e solamente se f è triviale, i.e. f(x) = id_{N} ∀x ∈ H. Diremo che G è il prodotto semidiretto di H e N, e scriviamo G = N ×_{f} H se G = HN e H ∩ N = {e}.

(c) Viceversa siano H e N due gruppi, e sia ϕ : H ↦ Aut(N) un omomorfismo dato. Costruiamo il prodotto semidiretto nel modo seguente. Sia G l’insieme delle coppie (x, h) con x ∈ N e h ∈ H, definiamo il prodotto nel modo seguente:

(x, h)(y, k) = (xϕ(h)(y), hk)

Dimostrare che questa è una legge di gruppo e che G = N ×_{ϕ} H identificando N con (x, 1) e H con (1, h)

(d) Verificare che N ×_{id} H ≅ N × H.

2. Dire quale dei seguenti gruppi è esprimibile come prodotto diretto o semidiretto di due sottogruppi:

(a) (ℤ, +),

(b) (ℤ_{8}, +),

(c) (D_{4}, ∘),

(d) (ℤ_{6}, +),

(e) (ℂ, +),

(f) (ℂ^{∗}, .).

3. Trovare tutte le immagini omomorfe a:

(a) ℤ_{6}

(b) ℤ_{8}

(c) ℤ_{14}

(d) ℤ_{18}

(e) ℤ

(f) S_{3}

(g) S_{4}

(h) D_{4}

(i) H

4. Trovare i sottogruppi di U(ℤ_{n}) per n = 6, 7, 15, 21

5. Descrivere i seguenti gruppi:

(a) (ℂ^{⋆}, ·) / {z ∈ ℂ : |z| = 1}

(b) (ℂ^{⋆}, ·) / \{z ∈ ℂ^{⋆} : z − \overline{z} = 0\}

(c) (ℂ, +) /ℤ + iℤ

2 Gruppo Simmetrico

1. Per ogni divisore p, primo, di Ord(S_{4}) trovare un elemento di ordine p.

2. Per quali divisori n di Ord(S_{4}) esiste un elemento di ordine n ?

3. Dimostrare che due qualsiasi sottogruppi di ordine 3 di S_{4} sono coniugati.

4. Verificare in S_{3} e S_{4} che due elementi coniugati hanno la stessa struttura ciclica.

3 Gruppo Diedrale

1. Consideriamo D_{4} il gruppo dei movimenti rigidi del quadrato. (a) Trovare tutti i sottogruppi di D_{4},

(b) Trovare le classi di coniugio di D_{4}.

2. Determinare il centro di D_{n} per ogni n.

3. Determinare N (D_{4}) in S_{4}.

4. Dimostrare che D_{n} generato da una riflessione e da una rotazione.

5. Si dimostri che il gruppo dei movimenti di un rettangolo è il gruppo di Klein.

4 Omomorfismi

1. Trovare tutti gli omomorfismi fra ℤ_{7} e ℤ_{21}

2. Trovare tutti gli omomorfismi fra ℤ_{21} e ℤ_{7}

3. Trovare tutti gli omomorfismi fra ℤ e ℤ_{13}

4. Trovare tutti gli omomorfismi fra ℤ e ℤ_{22}

5. Trovare tutti gli omomorfismi fra S_{3} e (ℤ_{6}, +)

6. Trovare tutti gli omomorfismi fra (ℤ_{6}, +) e S_{3}

7. Trovare tutti gli omomorfismi fra S_{4} e (ℤ_{24}, +)

8. Trovare tutti gli omomorfismi fra (ℤ_{24}, +) e S_{4}

9. Trovare tutti gli omomorfismi fra D_{4} e (ℤ_{8}, +)

10. Trovare tutti gli omomorfismi fra (ℤ_{8}, +) e D_{4}

11. Stabilire se i gruppi ℤ_{3} × ℤ_{9} e ℤ_{3} × ℤ_{3} × ℤ_{3} sono isomorfi.

5 Automorfismi

1. Calcolare Aut (V_{4}) e Inn (V_{4})

2. Calcolare Aut (ℤ)

3. Calcolare Aut (ℤ_{5})

4. Calcolare Aut (ℤ_{13})

5. Calcolare Aut (ℤ_{8})

6. Calcolare Aut (ℤ_{21})

7. Calcolare Aut (ℤ_{n}) e Inn (ℤ_{n})

8. Calcolare Aut (H) e Inn (H)

9. Verificare che

Inn(D_{4}) ≅ D_{4}/Z(D_{4}) ≅ V_{4}

6 Matrici e Numeri Complessi

1. Sia M l’insieme delle matrici 3×3 a valori 0 e 1 e tali che ciascuna riga e ciascuna colonna contiene esattamente un 1. Si dimostri che rispetto al prodotto righe per colonne M è un gruppo e che esso è isomorfo a S_{3}.

2. Consideriamo l’insieme R delle matrici 2 × 2 della forma

( \begin{matrix}cos(θ) & sin(θ) \\ − sin(θ) & cos(θ) \end{matrix} )

per θ ∈ [0, 2π). Dimostrare che R è un gruppo rispetto al prodotto righe per colonne e che esso isomorfo a G = {z ∈ ℂ : |z| = 1}

3. È vero che ogni numero complesso di modulo 1 è radice n-esima di 1 per qualche intero positivo n?