Università degli studi di Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005

AL2 - Algebra 2, gruppi anelli e campi Esercizi 10 dicembre 2004

1 Polinomio minimo e ampliamenti

1. Determinare il polinomio minimo di z sul campo K

(a) z = 2 + i, K = ℚ.

(b) z = \sqrt{2} + 2i, K = ℚ.

(c) z = 2i, K = ℚ.

(d) z = π + i, K = ℝ.

(e) z = \sqrt{3}, K = ℚ.

(f) z = \sqrt[3]{6}, K = ℚ.

2. Costruire esplicitamente i seguenti ampliamenti di ℚ

• ℚ(\sqrt{2}).

• ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}).

• ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{6}).

• ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{8}).

• ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}).

• ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{7}).

3. Dimostrare che per ogni d ∈ Q i seguenti ampliamenti di ℚ sono isomorfi:

(a) ℚ(\sqrt{d}).

(b) ℚ(a + b\sqrt{d}).

(c) ℚ(c\sqrt{d}).

Per ogni a, b e c ∈ ℚ.

2 Campi di spezzamento

1. Sia f(X) un polinomio di grado n su ℤ_{p} e sia α una sua radice (in un opportuno ampliamento di ℤ_{p}). Mostrare che le radici di f(X) sono:

α, α^{p}, α^{p^{2}}, …, α^{p^{n−1}}.

Dedurne che se m(X) è irriducibile su ℤ_{p}, allora m(X) ha tutte le sue

radici in \frac{ℤ_{p}[X]}{(m(X))}.

2. Determinare un campo contenente ℤ_{3} in cui il polinomio X^{4} + 2X^{3} + 2X + 2 ha tutte le sue radici.

3. Determinare il campo di spezzamento dei seguenti polinomi sul campo K.

(a) x^{2} − 2, K = ℚ

(b) x^{4} + 5x^{2} − 6, K = ℚ

(c) 2x^{2} − 6, K = ℚ

(d) x^{4} + 2, K = ℚ

(e) x^{2} − 2\sqrt{3}x + 1, K = ℚ(\sqrt{3})

(f) x^{5} − 4x^{4} + 12x^{2} − 4x − 8, 𝕂 = ℚ

3 Numeri algebrici

1. Dimostrare che cos(1^{∘}) + i sin(1^{∘}) è algebrico su ℚ, dove 1^{∘} = \frac{2π}{360}

2. In generale dimostrare che cos(m^{∘}) + i sin(m^{∘}) è algebrico su ℚ per ogni intero m

4 Campi Finiti

1. Sia F un campo con un numero finito q di elementi

(a) Dimostrare che esiste un numero primo p tale che

pa = \underbrace{a + ⋯ + a}_{p−volte} = 0

per ogni a ∈ F.

(b) Dimostrare che q = p^{n} per un certo intero n.

(c) Se a ∈ F, dimostrare che a^{q} = a.

(d) Se b ∈ K è algebrico su F, dimostrare che b^{q^{m}} = b per qualche intero m > 0.

2. Sia F un campo con p^{n} elementi, provare che esiste un polinomio q in ℤ_{p} [x] tale che F ≅ ℤ_{p} [x] / (q).

3. Costruire un campo, se possibile, con le seguenti cardinalità: 3, 6, 16, 27, 32, 144, 256, 3125.

5 Irriducibilità

Trovare le componenti irriducibili di f(x) in K[x], con K = ℤ, ℚ e ℝ 1. f(x) = x^{4} − 4x^{3} + 2x^{2} + 8x − 8

2. f(x) = x^{4} + 2x^{3} − x^{2} + 2x + 1

3. f(x) = 2x^{3} + 6x^{2} + 6x + 2

4. f(x) = x^{9} + 3x^{6} + 3x^{3} + 1