Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005 AL2 - Algebra 2, gruppi, anelli e campi Seconda prova di valutazione intermedia 11 gennaio 2005

Cognome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−} Nome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Numero di matricola_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Avvertenza: Svolgere il maggior numero di esercizio nello spazio assegnato, senza consegnare altri fogli e giustificando tutte le affermazioni fatte.Non è consentito l’uso di libri, appunti e calcolatrici.

1. Sia A = \{\frac{a}{b} : a, b ∈ ℤ, b ≠ 0 e 5 |̸b\} (a) Dimostrare che A è un sottoanello di ℚ.

(b) Determinare gli elementi invertibili di A.

(c) Sia ϕ : A → ℤ_{5} definita da

ϕ (\frac{a}{b}) = \overline{a}\overline{b}^{−1}.

Dimostrare che ϕ è un omomorfismo di anelli e applicare il teorema di omomorfismo.

(d) (facoltativo) Usando il punto 1b, mostrare che ker ϕ è l’unico ideale massimale di A 2. Sia p (X) = X^{2} + 3X + 1 ∈ ℤ_{7} [X]:

(a) Dimostrare che K = ℤ_{7} [X] / (p(X)) è un campo.

(b) Descrivere esplicitamente gli elementi di K.

(c) Determinare l’inverso di X^{3} + \overline{5}X + \overline{6} + (p (X)) in K.

3. Sia α = \sqrt{2} + i ∈ ℂ. (a) Mostrare che α è algebrico su ℚ.

(b) Determinare il polinomio minimo di α su ℚ e ℚ(i).

(c) Costruire il campo K = ℚ(α) e determinare una sua base su ℚ come spazio vettoriale.

4. Dimostrare che in ℤ [\sqrt{−6}] l’elemento α = 10 ha due fattorizzazioni distinte in elementi irriducibili non associati.