EsercitazioniAL2_07

Settimana 1 (27 settembre): Esempi di tabelle moltiplicative di gruppi finiti. Esercizi che utilizzano soltanto gli assiomi di gruppo. Sottogruppi di S3. Gruppo lineare generale reale di grado n; gruppo lineare speciale reale di grado n; gruppo ortogonale di grado n; gruppo ortogonale speciale di grado n. Esercizi su sottogruppi. Gruppo prodotto di due gruppi. Esempi.

Settimana 2 (2 ottobre): Numero degli elementi del gruppo generale lineare di grado 2 ad elementi in Zp. Esempi ed esercizi sull'ordine degli elementi di un gruppo. Gruppo delle radici n-esime dell'unità.

Settimana 3 (9 ottobre): Brevi richiami sulle isometrie di E2. Il gruppo delle simmetrie di un quadrato, D4; suoi generatori, suoi sottogruppi e suoi sottogruppi normali. Il gruppo delle simmetrie di un poligono regolare, Dn; il centro di Dn. Il gruppo delle unità dei quaternioni, H; suoi sottogruppi e suoi sottogruppi normali. Immersione di H nel gruppo S8.

Settimana 4 (16 ottobre): Esercitazione soppressa per l'inaugurazione dell'anno accademico.

Settimana 5 (23 ottobre): Richiami sulla scrittura delle permutazioni in cicli disgiunti e come prodotto di trasposizioni. Classi coniugate di Sn: due permutazioni sono coniugate se e solo se hanno la stessa scrittura ciclica; le classi coniugate sono tante quante sono le partizioni di n; numero degli r-cicli di Sn; classi coniugate di S3, S4 e S5. Esercizi. Sn è generato dalle trasposizioni del tipo (1, a) con a = 2, . . . , n. An è generato dai 3-cicli. An è generato dai 3-cicli del tipo (a,b,c) con a, b fissati. Se un sottogruppo normale N di An contiene un 3-ciclo, allora N = An. Gruppi semplici. Gruppi abeliani semplici. A5 è semplice.

Settimana 6 (30 ottobre): Il gruppo Hom(G,G') con G e G' gruppi abeliani. Omomorfismi da Zn a Zm; Hom(Zn, Zm) è isomorfo a Zd con d = MCD(n,m); descrizione esplicita di Hom(Zn, Zm); esempi. Endomorfismi di Zn; endomorfismi di Z; Hom(Z,Z) è isomorfo a Z. Esercizi.

Settimana 7 (Lezione tenuta da S. Gabelli): La cardinalità del numerabile e del continuo.

Settimana 8 (Lezione tenuta da S. Gabelli): Elementi invertibili e zerodivisori. L'algebra dei quaternioni reali. Algebre Booleane.

Settimana 9 (27 novembre): L'anello delle funzioni reali continue definite sull'intervallo [0,1]; esempi di suoi ideali massimali. Esercizi sulle operazioni tra ideali e sugli omomorfismi anulari. Teorema cinese dei resti per un anello commutativo unitario e due suoi ideali.

Settimana 10 (4 dicembre): Il campo Q[√d] e il dominio Z[√d]; coniugato e norma di un elemento di Q[√d]; loro proprietà; elementi invertibili di Z[√d]. Elementi primi ed irriducibili in un dominio di integrità. Esempi di elementi irriducibili e non primi in Z[√-3]. Divisione euclidea in Z[i]. Esempi.

Settimana 11 (11 dicembre): Proprietà di una valutazione euclidea. Un elemento di Z[√d] con valore assoluto della norma un numero primo è irriducibile. Z[√2] e Z[√-2] sono domini euclidei. In Z[√-6] e in Z[√10] esistono elementi irriducibili non primi. Z+XQ[X] non è un dominio ad ideali principali.

Settimana 12:

Dipartimento di Matematica

Roma TRE