Dipartimento di Matematica

Roma TRE




AL2 - Algebra 2: Gruppi, Anelli e Campi

a.a. 2007/2008 - I Semestre


Diario delle Lezioni
Settimana 1 (24 e 26 Settembre): Introduzione al corso: generalità sulle strutture algebriche. Definizione di gruppo e sottogruppo. Primi esempi. Isomorfismi di gruppi. La nozione di gruppo astratto. Gruppi astratti di ordine basso. I sottogruppi del gruppo (Z, +).
 
Settimana 2 (1 e 3 Ottobre): Intersezione e unione di sottogruppi. Sottogruppi generati da un sottoinsieme. Il reticolo dei sottogruppi di un gruppo. Gruppi finitamente generati e gruppi ciclici. Esempi. Ordine di un elemento. Sottogruppi di gruppi ciclici. Generatori di un gruppo ciclico.

Settimana 3 (9 e 10 Ottobre): Classi laterali destre e sinistre. Relazioni di equivalenza associate a un sottogruppo. Il Teorema di Lagrange e alcune sue conseguenze. I  gruppi di ordine 4.  Il Teorema di Caylay.  Il gruppo degli automorfismi  di un gruppo.

Settimana 4 (15 e 17 Ottobre): Relazioni compatibili. Sottogruppi normali. Il gruppo quoziente rispetto ad un sottogruppo normale. Esempi. I gruppi di ordine 6. A_4 non ha sottogruppi di ordine 6.
La relazione di coniugio. L'equazione delle classi. Il gruppo degli automorfismi interni è un sottogruppo normale del gruppo di tutti gli automorfismi.

Settimana 5 (22 e 23 Ottobre): Omomorfismi di gruppi. Nucleo ed Immagine. Il teorema fondamentale di omomorfismo ed alcune applicazioni. Il gruppo degli automorfismi interni come gruppo quoziente. Secondo e terzo teorema di omomorfismo.  Come costruire un omomorfismo tra gruppi finiti.

Settimana 6 (29 e 31 Ottobre): Corrispondenza tra sottogruppi in un omomorfismo. Sottogruppi coniugati. Sottogruppi caratteristici. Esempi di sottogruppi normali che non sono caratteristici. Il gruppo degli automorfismi di Zn. Prodotti diretti e semidiretti.

Prima prova di valutazione intermedia (7 Novembre)

Settimana 7 (12 e 14 Novembre): Correzione del compito di esonero. Ancora sui prodotti diretti e semidiretti. Azione di un gruppo su un insieme. Orbite e stabilizzatori. Corrispondenza biunivoca tra l'orbita di un elemento e l'insieme delle classi laterali destre del suo stabilizzatore. Il coniugio come azione. Il centralizzante di un elemento. Riscrittura dell'equazione delle classi. Enunciato dei Teoremi di Sylow. Cenni sulla classificazione dei gruppi finiti. Gruppi semplici. Enunciato del teorema di classificazione dei gruppi abeliani finiti. I gruppi con p^2 e pq elementi.

Settimana 8 (19 e 21 Novembre): Anelli. Elementi invertibili e zerodivisori. Domini integri e campi. Sottoanelli e ideali. Sottoanelli e ideali generati da sottoinsiemi (in anelli commutativi unitari). Ideali finitamente generati e principali. Operazioni tra ideali: somma, intersezione, prodotto. Anelli quoziente. Omomorfismi tra anelli.

Settimana 9 (25 e 28 Novembre): Teorema fondamentale di omomorfismo per gli anelli. Corrispondenza tra sottoanelli e ideali tramite un omomorfismo. Ideali e quozienti di un anello di polinomi su un campo.

Settimana 10 (3 e 5 Dicembre): Secondo e terzo teorema di omomorfismo. Ideali primi e massimali di un anello commutativo unitario. Caratterizzazioni attraverso i quozienti. Esempi. Campo dei quozienti di un dominio. Caratteristica di un anello unitario. Sottocampo fondamentale.

Settimana 11 (10 e 12 Dicembre): Divisibilità nei domini integri. Elementi primi ed irriducibili. Domini euclidei: ideali e quozienti. Esempi in Z[i]. Domini a ideali principali. Massimo comune divisore. Fattorizzazione in elementi irriducibili. Esempi in Z[√d].

Settimana 12 (17 e 19 Dicembre): Domini a fattorizazione unica. La condizione della catena ascendente sugli ideali principali. I domini a ideali principali sono a fattorizzazione unica. Fattorizzazione in Z[i]. Quozienti di domini a ideali principali e loro ideali. Anelli di polinomi su domini a fattorizzazione unica. Il Lemma di Gauss. Cenni sugli ampliamenti di campi.

Seconda prova di valutazione intermedia (11 Gennaio)