Dipartimento di Matematica
Roma TRE
AL2 - Algebra 2:
Gruppi, Anelli e Campi
a.a. 2013/2014 - I Semestre
Diario delle Lezioni
Settimana 1:
Operazioni. Elementi simmetrizzabili.
Gruppi, anelli e campi: primi esempi. Il gruppo delle unità di
un anello.
Traccia delle lezioni.
Settimana 2:
Gruppi e sottogruppi. Gruppi ciclici:
ordine degli elementi e generatori. Z_n e il gruppo delle
radici complesse n-sime dell'unità. Isomorfismi di gruppi.
Ogni gruppo ciclico è isomorfo a Z o Z_n.
Settimana 3: Sottogruppi di
gruppi ciclici. Classi laterali e Teorema di Lagrange sui
gruppi finiti. Sottogruppi normali.
Relazioni di equivalenza associate a un sottogruppo.
Corrispondenza biunivoca
tra sottogruppi normali e relazioni compatibili.
Settimana
4: Gruppi quoziente rispetto
a sottogruppi normali. Esempi. Omomorfismi: nucleo,
immagine. I
sottogruppi normali sono nuclei di omomorfismi. Teorema
fondamentale di omomorfismo.
Settimana 5: Omomorfismi tra gruppi ciclici.
Omomorfismi tra gruppi finiti. Automorfismi di gruppi. Il
gruppo degli automorfismi di Z_n. Esistenza di sottogruppi.
Gruppi semplici. I gruppi di ordine 6. A_4 non ha
sottogruppi di ordine 6. Gruppi di
trasformazioni. Il Teorema di Cayley.
Prima prova di
valutazione intermedia: Lunedì
28 Ottobre
Settimana 6: Prodotto di
sottogruppi. Secondo e terzo teorema di omomorfismo
per i gruppi. Prodotto diretto e semidiretto di
gruppi. Enunciato del teorema di classificazione dei
gruppi finiti commutativi. Coniugio e automorfismi
interni. Centro e centralizzanti di un gruppo.
Settimana
7: Proprietà del
coniugio. L'equazione delle classi. Un p-gruppo finito
ha centro non banale. Un gruppo di ordine p^2 è
abeliano. Enunciato dei teoremi di Sylow e di Cauchy
sull'esistenza di sottogruppi di ordine ammissibile.
Caso abeliano. Applicazione alla classificazione dei
gruppi finiti di ordine basso. Automorfismi e
automorfismi interni.
Settimana 8: Anelli. Unità e zero-divisori. Domini di
integrità e campi. Un dominio finito è un campo. Il corpo
dei quaternioni reali. Sottoanelli. Relazioni
compatibili ed ideali. Anelli quoziente.
Settimana
9: Omomorfismi di anelli. Corrispondenza
biunivoca tra sottoanelli e ideali di un anello e di
un suo quoziente. Teoremi di omomorfismo per gli
anelli. Ideali generati da sottoinsiemi.
ideali principali. Il lemma di Zorn: esistenza di ideali
massimali. Ideali primi e massimali. Caratterizzazione ripetto
ai quozienti. Divisibilità nei
domini. Elementi irriducibili e primi. Ideali primi nei PID.
Settimana 10: Ideali di anelli
di matrici. Domini euclidei. Un dominio euclideo è a ideali
principali. Elementi invertibili. L'anello
degli interi di Gauss. Massimo comune divisore e identità
di Bezout nei domini principali. Algoritmo euclideo delle
divisioni successive.
Settimana 11: Quozienti di domini a
ideali principali ed euclidei. Quozienti di K[X] e
Z[i]: elementi invertibili e zerodivisori. Elementi primi di Z[i].
Fattorizzazione in elementi primi. Primi di Z
irriducibili in Z[i] (Teorema di Fermat). Domini
atomici e a fattorizzazione unica: definizioni e primi
esempi.
Settimana
12: Domini a fattorizzazione unica.
I domini a
ideali principali sono a fattorizzazione unica. MCD-domini.
Un dominio è fattorizzazione
unica se e soltanto se è un MCD-dominio atomico.
Fattorizzazione in anelli di polinomi. Il
lemma di Gauss generalizzato.
Seconda prova di valutazione
intermedia: Giovedì 9 Gennaio