Dipartimento di Matematica

Roma TRE




AL2 - Algebra 2: Gruppi, Anelli e Campi

a.a. 2013/2014 - I Semestre



Diario delle Lezioni



Settimana 1: Operazioni. Elementi simmetrizzabili. Gruppi, anelli e campi: primi esempi. Il gruppo delle unitÓ di un anello.
Traccia delle lezioni.

Settimana 2: Gruppi e sottogruppi. Gruppi ciclici: ordine degli elementi e generatori. Z_n e il gruppo delle radici complesse n-sime dell'unitÓ. Isomorfismi di gruppi. Ogni gruppo ciclico Ŕ isomorfo a Z o Z_n.

Settimana 3: Sottogruppi di gruppi ciclici. Classi laterali e Teorema di Lagrange sui gruppi finiti. Sottogruppi normali. Relazioni di equivalenza associate a un sottogruppo. Corrispondenza biunivoca tra sottogruppi normali e relazioni compatibili.
 

Settimana 4: Gruppi quoziente rispetto a sottogruppi normali. Esempi. Omomorfismi: nucleo, immagine. I sottogruppi normali sono nuclei di omomorfismi. Teorema fondamentale di omomorfismo.

Settimana 5:
Omomorfismi tra gruppi ciclici. Omomorfismi tra gruppi finiti. Automorfismi di gruppi. Il gruppo degli automorfismi di Z_n. Esistenza di sottogruppi. Gruppi semplici. I gruppi di ordine 6. A_4 non ha sottogruppi di ordine 6. Gruppi di trasformazioni. Il Teorema di Cayley.

Prima prova di valutazione intermedia: Lunedý 28 Ottobre

Settimana 6:
Prodotto di sottogruppi. Secondo e terzo teorema di omomorfismo per i gruppi. Prodotto diretto e semidiretto di gruppi. Enunciato del teorema di classificazione dei gruppi finiti commutativi. Coniugio e automorfismi interni. Centro e centralizzanti di un gruppo.

Settimana 7: 
ProprietÓ del coniugio. L'equazione delle classi. Un p-gruppo finito ha centro non banale. Un gruppo di ordine p^2 Ŕ abeliano. Enunciato dei teoremi di Sylow e di Cauchy sull'esistenza di sottogruppi di ordine ammissibile. Caso abeliano. Applicazione alla classificazione dei gruppi finiti di ordine basso. Automorfismi e automorfismi interni.

Settimana 8Anelli. UnitÓ e zero-divisori. Domini di integritÓ e campi. Un dominio finito Ŕ un campo. Il corpo dei quaternioni reali. Sottoanelli.  Relazioni compatibili ed ideali. Anelli quoziente.
 

Settimana 9: Omomorfismi di anelli. Corrispondenza biunivoca tra sottoanelli e ideali di un anello e di un suo quoziente. Teoremi di omomorfismo per gli anelli. Ideali generati da sottoinsiemi. ideali principali. Il lemma di Zorn: esistenza di ideali massimali. Ideali primi e massimali. Caratterizzazione ripetto ai quozienti. DivisibilitÓ nei domini. Elementi irriducibili e primi. Ideali primi nei PID.

Settimana 10:
Ideali di anelli di matrici. Domini euclidei. Un dominio euclideo Ŕ a ideali principali. Elementi invertibili. L'anello degli interi di Gauss. Massimo comune divisore e identitÓ di Bezout nei domini principali. Algoritmo euclideo delle divisioni successive.

Settimana 11: Quozienti di domini a ideali principali ed euclidei. Quozienti di K[X] e Z[i]: elementi invertibili e zerodivisori. Elementi primi di Z[i]. Fattorizzazione in elementi primi. Primi di Z irriducibili in Z[i] (Teorema di Fermat). Domini atomici e a fattorizzazione unica: definizioni e primi esempi.

Settimana 12: Domini a fattorizzazione unica. I domini a ideali principali sono a fattorizzazione unica. MCD-domini. Un dominio Ŕ fattorizzazione unica se e soltanto se Ŕ un MCD-dominio atomico. Fattorizzazione in anelli di polinomi. Il lemma di Gauss generalizzato.

Seconda prova di valutazione intermedia: Giovedý 9 Gennaio