AL3, I Semestre, Crediti 6

AL3 Fondamenti di Algebra Commutativa A.A. 2003/2004

Prof. Stefania Gabelli

1. Moduli Moduli e sottomoduli. Operazioni tra sottomoduli. Omomorfismi e moduli quozien-

te. Generatori e basi. Somma e prodotto diretto di moduli. Moduli liberi. Invarianza del rango. Matrici su un anello e loro proprietà. Il Teorema di Caylay-Hamilton. Successioni esatte e successioni esatte corte. Risoluzioni libere (cenni).

2. Ideali Operazioni tra ideali. Omomorfismi di Anelli e Anelli quoziente. Il Lemma di

Zorn. Spettro primo e Spettro massimale di un anello. Il Teorema Cinese per gli anelli. Il ”Prime Avoidance Theorem”. Anelli locali. L’anello delle serie formali in una indeterminata. Ideali primi minimali. Nilradicale e Radicale di Jacobson. Il radicale di un ideale.

3. Anelli di Frazioni Parti moltiplicative. Parti moltiplicative saturate. L’insieme degli zero-divisori

è una unione di ideali primi. Il Nilradicale è l’intersezione di tutti gli ideali primi. Anelli e moduli di frazioni. Anello totale delle frazioni. Localizzazione. Esattezza della localizzazione. Proprietà locali. Estensione e contrazione di ideali. Ideali primi e primari in anelli di frazioni.

4. Anelli e Moduli Noetheriani Condizione della catena ascendente e proprietà equivalenti. Moduli e anelli noethe-

riani. Il teorema di Cohen. Passaggio della noetherianità ai quozienti e agli anelli di frazioni. Moduli e algebre su anelli noetheriani. Il Teorema della Base di Hilbert. Decomposizione primaria di ideali: Primi associati; Componenti isolate e componenti immerse; Teoremi di unicità. Decomposizione primaria in anelli noetheriani. Il Lemma di Nakayama. Il Teorema dell’Intersezione di Krull. Cenni sulle varietà algebriche affini. Enunciato e significato del Teorema degli Zeri.

5. Dipendenza Integrale Dipendenza Integrale: condizioni equivalenti. Transitività della dipendenza inte-

grale. Chiusura integrale e sue proprietà: comportamento nel passaggio ai quozienti e agli anelli di frazioni. Cenni sulla noetherianità e la finitezza della chiusura integrale. Enunciato del Lemma di Normalizzazione di Noether. Dimensione della chiusura integrale: Lying over, Incomparabilità, Going up, Going down.

A.A. 2003/2004, I Semestre  AL3  Crediti 6

6. Anelli di Valutazione Anelli di valutazione e loro prime proprietà. Anelli di valutazione discreta. Valu-

tazioni discrete e valutazioni p-adiche. La relazione di dominanza. Il Teorema di Krull sulla chiusura integrale.

7. Domini di Dedekind Domini di Dedekind e loro caratterizzazione tramite i domini di valutazioni discrete.

Ideali frazionari invertibili. Fattorizzazione degli ideali nei domini di Dedekind. Cenni sui Domini di Krull.

8. Anelli Artiniani Condizione della catena discendente e proprietà equivalenti. Moduli e anelli artiniani. Prime proprietà degli anelli artiniani. Il Teorema di Struttura.

Testi consigliati

[1] M. F. ATIYAH, I. G. MACDONALD, Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, (1969).

[2] R. Y. SHARP, Steps in Commutative Algebra. London Mathematical Society Student Texts, 51, Cambridge University Press, Cambridge, (2000).

Modalità d’esame

- valutazione in itinere (“esoneri”)  SI  NO
- esame finale  scritto  SI  NO
orale  SI  NO
- altre prove di valutazione del profitto  SI  NO

(meglio descritte sotto)

L’esame consiste in un colloquio orale, volto ad accertare l’acquisizione da parte dello studente dei concetti e dei metodi illustrati nel corso.

Concorrono alla definizione del voto di esame la partecipazione alle esercitazioni in classe e l’eventuale svolgimento di argomenti complementari al corso (tesine).