Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2003/2004 AL3 - Fondamenti di Algebra Commutativa Prof. S. Gabelli Esercizi 1 - Elementi invertibili e zerodivisori

Nel seguito denotiamo con A un anello commutativo unitario.

1. Mostrare che:

(a) l’unità di A è unica;

(b) Se a ∈ A è invertibile, il suo inverso è unico;

(c) L’insieme U(A) degli elementi invertibili di A è un gruppo molti-

plicativo.

2. Mostrare che l’insieme degli elementi invertibili di A e l’insieme degli zero-divisori di A sono disgiunti.

3. Un elemento a ∈ A si dice idempotente se a^{2} = a; si dice nilpotente se esiste un intero n ≥ 1 tale che a^{n} = 0. Sia ora a ≠ 0, 1; mostrare che:

(a) Se a è nilpotente, allora a è uno zero-divisore;

(b) Se a è idempotente, allora a è uno zero-divisore;

(c) Se a è nilpotente, allora a non è idempotente;

(d) Se a è nilpotente, allora ab è nilpotente, per ogni b ∈ A;

(e) Se u ∈ A è invertibile e a è nilpotente, allora u + ab è invertibile,

per ogni b ∈ A.

4. Mostrare che:

(a) L’insieme N il(A) degli elementi nilpotenti di A è un ideale di A;

(b) L’insieme Idemp(A) degli elementi idempotenti di A non è neces-

sariamente un sottoanello di A.

5. (∗) Sia n ≥ 2 e n = p_{1}^{e_{1}} … p_{s}^{e_{s}} la sua fattorizzazione in numeri primi. Mostrare che [a]_{n} ∈ ℤ_{n} è nilpotente se e soltanto se p_{i} divide a, per i = 1, …, s.

6. (∗) Sia f(X) := a_{0} + a_{1}X + ⋯ + a_{n}X^{n} ∈ A[X]. Mostrare che:

(a) f(X) è invertibile se e soltanto se a_{0} è invertibile e a_{i} è nilpotente per i ≥ 1.

(b) f(X) è nilpotente se e soltanto se a_{i} è nilpotente per i ≥ 0.

(c) f(X) è uno zero-divisore se soltanto se esiste a ∈ A tale che af(X) = 0.

7. (∗) Determinare esplicitamente gli elementi invertibili, nilpotenti ed idempotenti dei seguenti anelli: ℤ_{8}, ℤ_{12}, ℤ_{19}, ℤ_{2} ×ℤ_{4}, M_{2}(ℤ_{2}) (l’anello delle matrici 2 × 2 su ℤ_{2}), ℤ_{12}[X], ℤ × ℤ.

8. (∗) Mostrare che, se I è finitamente generato e I = I^{2}, allora I = eA con e = e^{2}.