Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2003/2004 AL3 - Fondamenti di Algebra Commutativa Prof. S. Gabelli Esercizi 10 - Valutazioni

1. Mostrare che, se (V, M) è un dominio di valutazione e (A, N) domina (V, M), allora (V, M) = (A, N).

2. Mostrare che un dominio di valutazione è euclideo se e soltanto se è un dominio di valutazione discreta.

3. Sia K un campo e v : K(X) ⟶ ℤ ∪ {∞} l’applicazione definita da

v(0) = ∞ e v(f/g) = deg(g) − deg(f) per f ≠ 0.

Mostrare che v è una valutazione discreta, il cui anello associato è K[X^{−1}]_{(X^{−1})}.

4. Sia K un campo e a ∈ K. Per ogni f(X) ∈ K[X] \ {0}, indichiamo con μ_{a}(f) la molteplicità di a come radice di f(X), μ_{a}(f) = 0 se e soltanto se f(a) ≠ 0.

Sia v_{a} : K(X) ⟶ ℤ ∪ {∞} l’applicazione definita da

v_{a}(0) = ∞, v_{a}(f/g) = μ_{a}(f) − μ_{a}(g) se f ≠ 0.

Mostrare che v_{a} è una valutazione discreta, il cui anello di valutazione V_{a} è l’anello delle funzioni razionali definite in a, ovvero

V_{a} = {f/g ∈ K(X) ; g(a) ≠ 0} = K[X]_{(X−a)}.

Un gruppo abeliano (G, ∗) è un gruppo (totalmente) ordinato se in esso è definita una relazione ≤ di ordine (totale) compatibile con l’operazione, cioè tale che:

x ≤ x′ , y ≤ y′ ⇒ x ∗ y ≤ x′ ∗ y′.

Se G è un gruppo additivo ordinato e α è un simbolo, possiamo estendere l’operazione di G e la sua relazione di ordine all’insieme G ∪ {α} ponendo, per ogni x ∈ G:

x < α; x ∗ α = α ∗ x = α.

In notazione additiva, si usa porre α = ∞, mentre in notazione moltiplicativa si usa α = 0.

5. Mostrare che ℤ×ℤ è un gruppo totalmente ordinato rispetto all’ordine lexicografico.

Se A è un dominio con campo dei quozienti K, il gruppo moltiplicativo

quoziente Δ = \frac{K^{∗}}{U(A)} si dice il gruppo di divisibilità di A.

6. Mostrare che il gruppo di divisibilità di un dominio A è un gruppo ordinato rispetto alla relazione

xU(A) ≤ yU(A) ⟺ xy^{−1} ∈ A.

7. Mostrare che V è un dominio di valutazione se e soltanto se il suo gruppo di divisibilità è un gruppo totalmente ordinato.

Se K è un campo e G è un gruppo additivo ordinato, una applicazione suriettiva v : K ⟶ G ∪ {∞} si dice una valutazione su K se

v(x) = ∞ se e soltanto se x = 0; v(xy) = v(x) + v(y), per ogni x, y ∈ K; v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}.

In notazione moltiplicativa, v : K ⟶ G ∪ {0} è una valutazione se:

v(x) = 0 se e soltanto se x = 0; v(xy) = v(x)v(y), per ogni x, y ∈ K; v(x + y) ≤ max{v(x), v(y)}.

8. Sia v una valutazione su un campo K, in notazione additiva. Mostrare che l’insieme A_{v} := {x ∈ K; v(x) ≥ 0} è un anello di valutazione con ideale massimale M_{v} := {x ∈ K; v(x) > 0}.

(In notazione moltiplicativa, A_{v} := {x ∈ K; v(x) ≤ 1} e M_{v} := {x ∈ K; v(x) < 1}.)

9. Sia (V, M) un anello di valutazione con campo dei quozienti K e gruppo di divisibilità Δ.

Mostrare che l’applicazione v : V ⟶ Δ ∪ {0} definita da

v(0) = 0 e v(x) = xU(V) per x ∈ K^{∗}

è una valutazione su K, in notazione moltiplicativa, il cui anello di valutazione A_{v} coincide con V.

10. Sia K un campo e siano v_{X}, v_{Y} rispettivamente le valutazioni X-adica e Y -adica su K(X, Y) (ricordare che K[X, Y] è un UFD).

Mostrare che l’applicazione v : K(X, Y) ⟶ ℤ × ℤ ∪ {∞} definita da v(f/g) = (v_{X}(f/g), v_{Y} (f/g)) è una valutazione su K(X, Y).