Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2003/2004 AL3 - Fondamenti di Algebra Commutativa Prof. S. Gabelli Esercizi 11 - Ideali Frazionari

1. Siano A un anello commutativo unitario non nullo e M un A-modulo. Siano poi {N_{α}} una famiglia di sottomoduli di M; {I_{α}} una famiglia di ideali di A; N, L, H ∈ {N_{α}} e I, J ∈ {I_{α}}.

Verificare che (N :_{M} I) := {x ∈ M ; xI ⊆ N} è un sottomodulo di M contente N. Inoltre valgono le seguenti proprietà:

(a) (N :_{M} I) :_{M} J) = (N :_{M} IJ) = (N :_{M} J) :_{M} I);

(b) (∩_{α}N_{α} :_{M} I) = ∩_{α}(N_{α} :_{M} I);

(c) (N :_{M} ∑_{α} I_{α}) = ∩_{α}(N :_{M} I_{α}).

Nel seguito A indica un dominio con campo dei quozienti K. Un ideale frazionario di A è un sotto A-modulo I di K tale che (A :_{A} I) ≠ (0).

2. Mostrare che:

(a) I è un ideale frazionario se e soltanto se I = \frac{1}{d}J, dove J ⊆ A è un ideale e d ∈ A \ {0};

(b) Se I è un sotto A-modulo di K finitamente generato, allora I è un ideale frazionario;

(c) Ogni sotto A-modulo di un ideale frazionario è un ideale frazionario.

3. Siano I, J ideali frazionari di A. Mostrare che: IJ, I ∩ J, I + J e (I :_{K} J) = {x ∈ K; xJ ⊆ I} sono ideali frazionari.

4. Mostrare che, se I è un ideale frazionario di A, allora (I :_{K} I) è un sottoanello di K contenente A.

Mostrare inoltre con un esempio che (A :_{K} I) non è necessariamente un anello.

5. Mostrare che l’insieme F(A) degli ideali frazionari di A è un semigruppo rispetto alla moltiplicazione, con unità uguale ad A.

6. Un ideale frazionario I di A si dice invertibile se è invertibile nel semigruppo F(A), cioè se esiste un (unico) ideale frazionario J tale che IJ = A.

Mostrare che se I è invertibile, allora il suo inverso è (A :_{K} I).

7. Mostrare che un ideale frazionario invertibile è finitamente generato.

8. Sia I un ideale frazionario di A. Mostrare che l’applicazione

φ : (A :_{K} I) ⟶ Hom_{A}(I, A) ; (φ(x))(y) = xy

è un isomorfismo di A-moduli.

Per questo motivo l’ideale frazionario (A :_{K} I) si dice anche il duale di I.

9. Sia Ā la chiusura integrale di A. Mostrare che:

(a) Ā = ∪{(I :_{K} I)} al variare di I tra gli ideali finitamente generati di A;

(b) A è integralmente chiuso se e soltanto se (I :_{K} I) = A, per ogni ideale finitamente generato di A.

Sugg. Ricordare che se A ⊆ B è un’estensione di anelli, x è intero su A se e soltanto se esiste un sotto A-modulo finitamente generato F di B tale che x ∈ (F :_{B} F). Notare poi che, per ogni ideale frazionario I e x ∈ K, si ha (xI :_{K} xI) = (I :_{K} I).