Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2003/2004 AL3 - Fondamenti di Algebra Commutativa Prof. S. Gabelli Esercizi 2 - Moduli e sottomoduli

Nel seguito A è un anello commutativo unitario non nullo; M è un Amodulo; {N_{α}} è una famiglia di sottomoduli di M; {I_{α}} è una famiglia di ideali di A; N, L, H ∈ {N_{α}} e I, J ∈ {I_{α}}.

1. Sia G un gruppo abeliano additivo. Verificare che l’insieme End(G) degli endomorfismi di G è un anello (generalmente non commutativo) con le operazioni di addizione puntuale, definita da (φ+ψ)(x) = φ(x)+ ψ(x) e la composizione di funzioni, definita da (φψ)(x) = φ(ψ(x)).

Mostrare inoltre che l’applicazione End(G)×G⟶ G, (φ, x) → φ(x) definisce una struttura di End(G)-modulo sinistro su G.

2. Per ogni a ∈ A, definiamo l’applicazione μ_{a} : M ⟶ M ; m → am.

Verificare che μ_{a} è un endomorfismo (A-lineare) di M e che l’applicazione A ⟶ End(M) definita da a → μ_{a} è un omomorfismo iniettivo di anelli.

3. (∗) Sia V uno spazio vettoriale sul campo K. Mostrare che, se φ è un K-endomorfismo di V, allora V assume una struttura di K[X]-modulo con la moltiplicazione scalare definita da:

K[X] × V ⟶ V ; (∑ a_{i}X^{i}, v) → ∑ a_{i}φ^{i}(v).

Viceversa, ogni modulo V su K[X] è in particolare uno spazio vettoriale su K, inoltre la moltiplicazione per X,

μ_{X} : V ⟶ V ; v → Xv

è un K-endomorfismo di V.

In questo modo, si ha una biiezione tra l’insieme delle coppie (V, φ), dove V è un K-spazio vettoriale e φ è un K-endomorfismo di V, e l’insieme dei K[X]-moduli.

4. (∗) Verificare che I ⊆ Ann(\frac{M}{IM}) e quindi \frac{M}{IM} ha una struttura di \frac{A}{I} modulo, con la moltiplicazione scalare definita da (a + I)(m + IM) = (am + IM). In particolare, se I è un ideale massimale di A, allora \frac{M}{IM} è uno spazio vettoriale su \frac{A}{I}.

5. Sia G un gruppo abeliano additivo e n ≥ 2. Mostrare che se ng = 0 per ogni g ∈ G, allora G è un modulo su \frac{ℤ}{nℤ}.

6. Sia A un dominio integro. Un elemento m ∈ M si dice di torsione se esiste a ∈ A, a ≠ 0 tale che am = 0. Mostrare che l’insieme T degli elementi di torsione di M è un sottomodulo di M. M si dice un modulo di torsione se M = T, si dice privo di torsione se T = 0. Mostrare che \frac{M}{T} è privo di torsione.

7. Mostrare che ogni gruppo abeliano finito è uno ℤ-modulo di torsione.

8. Un A-modulo M si dice fedele se Ann_{A}(M) = 0.

Verificare che se I = Ann_{A}(M) allora M è un \frac{A}{I}-modulo fedele.

9. (∗) Verificare che I = Ann_{A}(\frac{A}{I}) = (0 :_{A} A + I).

10. (∗) Verificare che (N :_{A} L) = Ann(\frac{(N+L)}{N}).

11. Mostrare che valgono le seguenti proprietà:

(a) Proprietà Distributiva: I(N + L) = IN + IL;

(b) Legge Modulare: Se L ⊆ N, allora N ∩ (L + H) = L + (N ∩ H). Mostrare poi con un esempio che in generale, anche per gli ideali di A, risulta N ∩ (L + H) ≠ (N ∩ L) + (N ∩ H).

12. (∗) Verificare che ∩_{α}N_{α} e ∑_{α} N_{α} = {n_{α_{1}} + ⋯ + n_{α_{s}}; n_{α_{i}} ∈ N_{α_{i}}} sono sottomoduli di M. Verificare inoltre che:

(a) (∩_{α}N_{α} : L) = ∩_{α}(N_{α} : L);

(b) (L : ∑_{α} N_{α}) = ∩_{α}(L : N_{α}).