Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2003/2004 AL3 - Fondamenti di Algebra Commutativa

Prof. S. Gabelli Esercizi 3 - Omomorfismi di moduli

Nel seguito A è un anello commutativo unitario non nullo.

1. Siano M, M′ A-moduli e sia N un sottomodulo di M. Mostrare che:

(a) L’applicazione π : M ⟶ \frac{M}{N} definita da x → x + N è un omomorfismo di A-moduli e il suo nucleo è N.

(b) Se φ : M ⟶ M′ è un omomorfismo di A-moduli e N ⊆ Ker(φ),

allora l’applicazione \overline{φ} : \frac{M}{N} ⟶ M′ definita da x + N → φ(x) è ben definita ed è un omomorfismo di A-moduli.

Inoltre φ = \overline{φ}π e se ψ : \frac{M}{N} ⟶ M′ è un omomorfismo di A-moduli tale che φ = ψπ, allora ψ = \overline{φ}.

2. Siano H, M, N A-moduli. Dimostrare i seguenti Teoremi di Isomorfismo:

(a) Primo Teorema di Omomorfismo: Se φ : M ⟶ N è un omomor-

fismo di A-moduli, allora l’applicazione \overline{φ} : \frac{M}{Ker(φ)} ⟶ Im(φ)

definita da x + Ker(φ) → φ(x) è ben definita ed è un isomorfismo di A-moduli.

(b) Secondo Teorema di Omomorfismo: L’applicazione \frac{M}{M ∩ N} ⟶

\frac{M + N}{N} definita da x + (M ∩ N) → x + N è un isomorfismo di A-moduli.

(c) Terzo Teorema di Omomorfismo o Teorema del Doppio Quoziente:

Se H ⊆ N ⊆ M, allora l’applicazione \frac{M/H}{N/H} ⟶ \frac{M}{N} definita da

(x + H) + N/H → x + N è un isomorfismo di A-moduli.

3. (∗) Verificare che l’applicazione Hom_{A}(A, M) ⟶ M definita da α → α(1) è un isomorfismo di A-moduli.

4. Sia φ : N ⟶ N′ un omomorfismo di A-moduli. Mostrare che le applicazioni

Hom_{A}(M, N) ⟶ Hom_{A}(M, N′) ; α → φα
Hom_{A}(N′, M) ⟶ Hom_{A}(N, M) ; α → αφ

sono omomorfismi di A-moduli.

5. Per ogni A-modulo H, indichiamo con H^{∗} := Hom_{A}(H, A) il modulo duale di H. Mostrare che l’applicazione

Hom_{A}(M, N) ⟶ Hom_{A}(N^{∗}, M^{∗}) ; φ → φ^{∗},

dove φ^{∗} : N^{∗} ⟶ M^{∗} è definito da α → αφ, è un omomorfismo di A-moduli.

(∗) Mostrare poi con un esempio che H^{∗} può essere il modulo nullo anche se H non lo è.

6. (∗) Sia {M_{λ}} una famiglia di A-moduli. Mostrare che, se ι_{λ} : M_{λ} ⟶ ⨁ M_{λ} è la λ-esima iniezione canonica, allora l’applicazione

Hom_{A}(⨁ M_{λ}, N) ⟶ ∏ Hom_{A}(M_{λ}, N) ; φ → (φι_{λ})

è un A-isomorfismo.

In particolare,

Hom_{A}(M_{1} × ⋯ × M_{n}, N) ⋍ Hom_{A}(M_{1}, N) × ⋯ × Hom_{A}(M_{n}, N).

7. (∗) Mostrare che P è un A-modulo proiettivo (cioè P è un addendo diretto di un A-modulo libero) se e soltanto se ogni successione esatta di A-moduli

0 ⟶ M ⟶ N ⟶ P ⟶ 0

spacca.

Sugg. Usare la proprietà universale dei moduli liberi per mostrare che, se P è proiettivo, l’omomorfismo N ⟶ P ha un inverso destro.