Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2003/2004 AL3 - Fondamenti di Algebra Commutativa Prof. S. Gabelli Esercizi 4 - Ideali

Nel seguito A denota un anello commutativo unitario non nullo.

1. Mostrare che I è un ideale primo di A se e soltanto se A \ I è un semigruppo moltiplicativo unitario.

2. Mostrare che, se ogni ideale di A è un ideale primo, allora A è un campo.

3. Supponiamo che ogni elemento di A sia idempotente e sia P un ideale primo di A. Mostrare che A/P è un campo con due elementi.

4. Siano K un campo e K[X] l’anello dei polinomi in un insieme qualsiasi X di indeterminate indipendenti su K. Mostrare che l’insieme M dei polinomi che si annullano in 0 è un ideale massimale di K[X] e che M non è finitamente generato.

5. Siano I, J_{1} … J_{n}, n ≥ 2 ideali di A. Mostrare che:

(a) Se I ⊆ J_{1} ∪ J_{2}, allora I ⊆ J_{1} oppure I ⊆ J_{2}.

(b) Se J_{i} è un ideale primo per i = 3, …, n e I ⊆ J_{1} ∪ J_{2} ∪ ⋯ ∪ J_{n}, allora I ⊆ J_{i} per qualche i = 1, …, n.

6. (*) Sia I un ideale di A tale che I = P_{1} ∩ ⋯ ∩ P_{n}, dove P_{i} è un ideale primo per i = 1, …, n.

Mostrare che l’applicazione

\frac{A}{I} ⟶ \frac{A}{P_{1}} × ⋯ × \frac{A}{P_{n}} definita da a + I → (a + P_{1}, …, a + P_{n})

è ben posta ed è un omomorfismo iniettivo di anelli.

Verificare inoltre che se ad esempio K è un campo, A = K[X, Y] e I = (XY), tale applicazione non è suriettiva.

7. (*) Sia A un dominio a ideali principali e sia a ∈ A \ U(A). Mostrare che, se a = p_{1}^{e_{1}} … p_{s}^{e_{s}}, con p_{i} irriducibile ed e_{i} ≥ 1 per i = 1, …, s, allora

(a) = (p_{1}^{e_{1}}) … (p_{s}^{e_{s}}) = (p_{1}^{e_{1}}) ∩ ⋯ ∩ (p_{s}^{e_{s}}).

Usando il Teorema Cinese di Resti, dedurne che si ha un isomorfismo

\frac{A}{(a)} ≃ \frac{A}{(p_{1}^{e_{1}})} × ⋯ × \frac{A}{(p_{n}^{e_{n}})}.

8. Sia I un ideale di A e I[X] l’insieme dei polinomi di A[X] a coefficienti in I. Mostrare che:

(a) I[X] è un ideale di A[X] e I[X] ∩ A = I;

(b) I è primo se e soltanto se I[X] è primo;

(c) Se J ⊆ A[X] è un ideale (risp. un ideale primo) contenente qualche costante non nulla, allora J ∩A è un ideale (risp. un ideale primo) di A; ma può accadere che (J ∩ A)[X] ≠ J (dare un esempio).

9. (*) Mostrare che gli ideali primi di ℤ[X] sono soltanto i seguenti:

(0); (f(X)) con f(X) irriducibile su ℤ; (p, g(X)) con p ∈ ℤ un

numero primo e g(X) ∈ ℤ[X] tale che \overline{g(X)} ∈ ℤ_{p}[X] = \frac{ℤ[X]}{pℤ[X]} sia

irriducibile.

(Suggerimento: Usando l’identità di Bezout in ℚ[X], mostrare che, se P è un ideale primo non principale di ℤ[X], allora P ∩ ℤ ≠ (0).

10. (*) Generalizzando l’esercizio precedente, descrivere lo spettro primo di D[X], con D un dominio a ideali principali. In particolare considerare D[X] = k[X, Y], con k un campo.

(Suggerimento: Ricordare che D[X] è un dominio a fattorizzazione unica).