Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2003/2004 AL3 - Fondamenti di Algebra Commutativa Prof. S. Gabelli Esercizi 5 - Anelli di frazioni

Nel seguito A denota un anello commutativo unitario e S una sua parte moltiplicativa.

1. Sia X un sottoinsieme di A tale che 1 ∈ X e sia

S := S(X) := {s_{1} … s_{k}; s_{i} ∈ X , k ≥ 1}.

Mostrare che S è una parte moltiplicativa di A (che si dice la parte moltiplicativa generata da X).

Mostrare inoltre che se X è finito e non contiene zerodivisori, allora A_{S} = A_{s} per un opportuno s ∈ S.

2. Sia A un dominio a fattorizzazione unica e sia a ∈ A \ {0}.

Determinare la saturazione della parte moltiplicativa S = {a^{n}}_{n≥0}.

3. Sia I un ideale di A. Determinare la saturazione della parte moltiplicativa S = 1 + I = {1 + a; a ∈ I}.

4. Sia s ∈ A un elemento idempotente. Che possiamo dire di A_{s}?

5. Sia A un dominio e sia S = A \ {0}. Mostrare che (A[X])_{S} = K[X] , dove K è il campo dei quozienti di A.

6. Sia K un campo. Mostrare che il campo dei quozienti dell’anello delle serie formali K[[X]] è l’anello delle serie di Laurent

K((X)) := {∑_{i≥s} a_{i}X^{i}; a_{i} ∈ K, s ∈ ℤ}.

7. Sia K un campo. Verificare che l’applicazione

K[X]_{(X)} ⟶ K[[X]] ; \frac{f(X)}{g(X)} → f(X)g(X)^{−1}

è un isomorfismo di anelli locali.

8. Sia S = 1 + (X) ⊆ A[X]. Mostrare che l’anello delle frazioni A[X]_{S} è contenuto isomorficamente nell’anello delle serie formali A[[X]].

9. Sia K un campo e sia S = {X^{n}}_{n≥1} la parte moltiplicativa di K[X] generata da X. Verificare che gli anelli K[X]_{S} e K[X, X^{−1}] sono isomorfi.

10. Siano A un dominio di integrità, P_{1}, …, P_{s} ideali primi di A e S = A \ (P_{1} ∪ … ∪ P_{s}). Mostrare che

A_{S} = A_{P_{1}} ∩ … ∩ A_{P_{s}}.

11. Sia A un dominio a ideali principali con campo dei quozienti K e siano p_{1}, …, p_{s} elementi primi di A. Mostrare che

B := \{\frac{a}{b} ∈ K tali che p_{1}, ⋯, p_{s} ∤ b\}

è un sovranello di A i cui soli ideali primi sono p_{1}B, …, p_{s}B.

12. Siano S, T due parti moltiplicative di A, con S ⊆ T. Mostrare che l’applicazione A_{S} ⟶ A_{T} definita da \frac{a}{s} → \frac{a}{s} è un omomorfismo di anelli. Mostrare inoltre che tale omomorfismo è biiettivo se e soltanto se T è contenuto nella saturazione di S.

13. Sia ϕ : A ⟶ A_{S}, a → \frac{a}{1} l’omomorfismo naturale e sia T una parte moltiplicativa di A. Mostrare che ST = {st, s ∈ S, t ∈ T } è una parte moltiplicativa di A e che A_{ST} ≃ (A_{S})_{ϕ(T)}. Dedurne che, se P ⊆ Q sono due ideali primi di A, allora A_{P} = (A_{Q})_{P A_{Q}}.

14. Sia I un ideale di A e sia T = \{s + I; s ∈ S\} ⊆ \frac{A}{I}.

Mostrare che T è una parte moltiplicativa di \frac{A}{I} e

(\frac{A}{I})_{T} ≃ \frac{A_{S}}{I_{S}} .

Dedurne che, se P è primo, il campo residuo dell’anello locale A_{P} è

isomorfo al campo dei quozienti del dominio \frac{A}{P}.