Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2003/2004 AL3 - Fondamenti di Algebra Commutativa Prof. S. Gabelli Esercizi 6 - Estensione e contrazione di ideali

Nel seguito A e B sono anelli commutativi unitari non nulli e f : A ⟶ B è un omomorfismo unitario. Se I è un ideale di A, indichiamo con I^{e} l’estensione di I in B, ovvero l’ideale di B generato da f(I):

I^{e} = f(I)B = {∑_{i=1}^{n} f(a_{i})b_{i}; a_{i} ∈ I, b_{i} ∈ B, n ≥ 1}.

Se J è un ideale di B, indichiamo poi con I^{c} l’ideale contrazione di J su A, ovvero la controimmagine di J:

I^{c} = f^{−1}(J).

Se B = A_{S} e f : A ⟶ A_{S} , a → \frac{a}{1} è l’omomorfismo canonico, allora I^{e} = I_{S}. Se poi f è iniettivo, allora I^{e} = IA_{S} è l’ideale di A_{S} generato da I.

1. Mostrare che:

(a) I ⊆ I^{ec}; J ⊇ J^{ce};

(b) I^{e} = I^{ece}; J^{c} = J^{cec}.

2. Siano I_{1}, I_{2} ideali di A e J_{1}, J_{2} ideali di B. Mostrare che:

(a) (I_{1} + I_{2})^{e} = I_{1}^{e} + I_{2}^{e}; (J_{1} + J_{2})^{c} ⊇ J_{1}^{c} + J_{2}^{c};

(b) (I_{1} ∩ I_{2})^{e} ⊆ I_{1}^{e} ∩ I_{2}^{e}; (J_{1} ∩ J_{2})^{c} = J_{1}^{c} ∩ J_{2}^{c};

(c) (I_{1}I_{2})^{e} = I_{1}^{e}I_{2}^{e}; (J_{1}J_{2})^{c} ⊇ J_{1}^{c}J_{2}^{c};

(d) (I_{1} :_{A} I_{2})^{e} ⊆ (I_{1}^{e} :_{B} I_{2}^{e}); (J_{1} :_{B} J_{2})^{c} ⊆ (J_{1}^{c} :_{A} J_{2}^{c});

(e) \sqrt{I^{e}} ⊇ (\sqrt{I})^{e}; (\sqrt{J})^{c} = \sqrt{J^{c}}.

3. (∗) Sia A un dominio integro con campo dei quozienti K. Mostrare che

I_{S} = {x ∈ K; xs ∈ I per qualche s ∈ S} := ⋃_{s∈S} (I :_{K} sA).

4. (∗) Sia I un ideale di A e S = 1 + I. Mostrare che I_{S} è contenuto nel radicale di Jacbson di A_{S}.

5. Siano I, H ideali di A. Mostrare che:

(a) (I + H)_{S} = I_{S} + H_{S};

(b) (IH)_{S} = I_{S}H_{S};

(c) (I ∩ H)_{S} = I_{S} ∩ H_{S};

(d) (\sqrt{I})_{S} = \sqrt{I_{S}}.

(e) (∗) Se H è finitamente generato, allora (I :_{A} H)_{S} = (I_{S} :_{A_{S}} H_{S}).

6. (∗) Siano A un dominio di integrità, P_{1}, …, P_{s} ideali primi di A a coppie incomparabili e S = A \ (P_{1} ∪ … ∪ P_{s}). Mostrare che A_{S} ha esattamente s ideali massimali.

7. (∗) Supponiamo che f sia suriettivo. Mostrare che:

(a) I^{e} = f(I); dunque f(I) è un ideale di B.

(b) Se I ⊇ Ker(f), allora l’applicazione:

\frac{A}{I} ⟶ \frac{B}{f(I)} definita da a + I → f(a) + f(I)

è ben posta ed è un isomorfismo.

(c) Se J è un ideale di B, allora l’applicazione:

\frac{A}{J^{c}} ⟶ \frac{B}{J} definita da a + J^{c} → f(a) + J

è ben posta ed è un isomorfismo.