Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2003/2004 AL3 - Fondamenti di Algebra Commutativa Prof. S. Gabelli Esercizi 7 - Ideali radicali e ideali primari

Nel seguito A denota un anello commutativo unitario non nullo, I, J sono ideali di A e \sqrt{I} = \{a ∈ A; esiste n ≥ 0 tale che a^{n} ∈ I\} è il radicale di I.

1. Verificare le seguenti proprietà:

(a) \sqrt{I} = A se e soltanto se I = A;

(b) Se I ⊆ J, allora \sqrt{I} ⊆ \sqrt{J};

(c) \sqrt{\sqrt{I}} = \sqrt{I};

(d) \sqrt{IJ} = \sqrt{I ∩ J} = \sqrt{I} ∩ \sqrt{J} ⊇ \sqrt{I}\sqrt{J};

(e) \sqrt{I + J} = \sqrt{\sqrt{I} + \sqrt{J}};

(f) Se J^{n} ⊆ I ⊆ J per qualche n ≥ 1, allora \sqrt{I} = \sqrt{J}.

2. (*) Mostrare che I + J = A se e soltanto se \sqrt{I} + \sqrt{J} = A. Dedurne che, se I + J = A allora I^{n} + J^{m} = A, comunque scelti n, m ≥ 1.

3. (*) Supponiamo che A sia un dominio a ideali principali e sia a ∈ A \ U(A). Mostrare che, se a = p_{1}^{e_{1}} ⋯ p_{n}^{e_{n}}, n ≥ 1, è la fattorizzazione di a in elementi primi, allora \sqrt{(a)} = (p_{1} ⋯ p_{n}). Dedurne che l’anello quoziente \frac{A}{(a)} è ridotto se e soltanto se a non è diviso da alcun quadrato.

4. (*) Sia P un ideale primo di A. L’ideale P^{(n)} := P^{n}A_{P} ∩ A si dice l’nsima potenza simbolica di P. Mostrare che P^{(n)} è un ideale P -primario.

5. Sia P un ideale primo di A e sia ϕ_{P} : A ⟶ A_{P} l’omomorfismo naturale. Mostrare che:

(a) Ker(ϕ_{P}) ⊆ P;

(b) Se P ⊆ Q, allora Ker(ϕ_{Q}) ⊆ Ker(ϕ_{P});

(c) \sqrt{Ker(ϕ_{P})} = P se e soltanto se P è un primo minimale di A;

(d) Se P è un primo minimale di A, allora Ker(ϕ_{P}) è contenuto in ogni ideale P -primario.