Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2003/2004

AL3 - Fondamenti di Algebra Commutativa - Prof. S. Gabelli Esercizi 8 - Anelli Noetheriani

Nel seguito A è un anello commutativo unitario non nullo e I è un ideale di A.

1. Mostrare che se A è un dominio Noetheriano, allora ogni elemento di A è prodotto di un un numero finito di elementi irriducibili.

2. Siano I_{1}, …, I_{n} ideali di A tali che I_{1} ∩ … ∩ I_{n} = (0). Mostrare che,

se \frac{A}{I_{i}} è noetheriano, allora A è noetheriano.

3. Mostrare che, se A è uno spazio vettoriale di dimensione finita su un suo sottocampo k, allora A è un anello noetheriano.

4. Dimostrare che, se A è noetheriano, anche l’anello delle serie formali A[[X]] è noetheriano. Sugg. Adattare la dimostrazione del Teorema della Base, sostituendo il grado di un polinomio con l’ordine di una serie.

5. Mostrare che, se \sqrt{I} è finitamente generato, allora I ⊇ (\sqrt{I})^{n}, per un opportuno n ≥ 1. Dedurne che, se Q è un ideale P -primario di un anello noetheriano, allora Q ⊇ P^{(n)} := P^{n}A_{P} ∩ A, per un opportuno n ≥ 1.

6. Supponiamo che A sia noetheriano locale, con ideale massimale M. Dimostrare che M^{n} ≠ M^{n+1}, per ogni n ≥ 1 se e soltanto se M non è un primo minimale, ovvero in A esiste un primo P diverso da M. Dedurne che, se A è noetheriano e P non è minimale, allora P^{(n)} ⊋ P^{(n+1)}, per ogni n ≥ 1.

7. Dimostrare che se A è un dominio a ideali principali, ogni ideale proprio di A ammette una unica decomposizione primaria.

8. Sia K un campo e A = K[X, Y, Z]/(X^{2} − Y Z). Determinare una decomposizione primaria dell’ideale principale generato dalla classe di X.