Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2003/2004 AL3 - Fondamenti di Algebra Commutativa Prof. S. Gabelli Esercizi 9 - Dipendenza integrale

Nel seguito A è un anello commutativo unitario non nullo.

1. Mostrare che ℤ[X_{1}, …, X_{n}] e F [X_{1}, …, X_{n}], dove F è un campo, sono integralmente chiusi.

2. Sia d un intero privo di fattori quadratici. Se a := x + y\sqrt{d} ∈ ℚ(\sqrt{d}), poniamo ā = x − y\sqrt{d}.

Mostrare che, se a + ā , aā ∈ ℤ, allora a è intero su ℤ.

3. Sia B un anello tale che A ⊆ B e sia M un A-modulo. Mostrare che

(M :_{B} M) = {x ∈ B; xM ⊆ M}

è un sottoanello di B (contenente A) ed anche un sottoanello di End_{A}(M).

4. Siano A ⊆ B domini di integrità e sia x ∈ B. Mostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti:

(a) x è intero su A;

(b) Esiste un sotto A-modulo finitamente generato F di B tale che x ∈ (F :_{B} F).

Sugg. Usare il ”trucco del determinante” usato per dimostrare il Teorema di Caylay-Hamilton.

5. Sia A := \frac{ℤ[X]}{(X^{2} + 4)} = ℤ[x], dove x denota la classe di X in A.

Mostrare che A è un dominio integro, con campo dei quozienti ℚ[x]. Inoltre t = 4/x è intero su A, ma t ∉ A.

Dedurne che un anello quoziente di un dominio integralmente chiuso non è necessariamente integralmente chiuso.

6. sia A = \frac{k[X, Y]}{(Y^{2} − X^{3})} = k[x, y], dove x e y denotano rispettivamente la

classe di X e Y in A.

Mostrare che A è un dominio integro con campo dei quozienti k(x, y). Inoltre t := y/x è intero su A, ma t ∉ A. Mostrare infine che Ā = k[t].

7. Siano A ⊆ B domini di integrità. Siano Q ∈ Spec(B), P := Q ∩ A e S := A \ P.

Mostrare che:

(a) A_{P} = A_{S} ⊆ B_{S} ⊆ B_{Q}.

(b) Se Ā = B, allora \overline{A_{P}} = B_{S} ⊆ B_{Q}.

8. Siano A := ℝ[X^{2} + 1], B := ℝ[X], Q := (X^{2} + 1)B e P = Q ∩ A. Mostrare che:

(a) Ā = B;

(b) \frac{1}{X + 1} ∈ B_{Q} \ \overline{A_{P}}.

9. Sia B un anello tale che A ⊆ B e sia f(X) ∈ B[X]. Mostrare che, se tutti i coefficienti di f(X) sono interi su A, allora f(X) è intero su A[X].

10. Sia A un dominio di integrità. Mostrare che, se A[X] è integralmente chiuso, allora A è integralmente chiuso.