Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2004/2005

AL4 - Numeri Algebrici (Prof. S. Gabelli)

Esercizi 1

1. Effettuare la divisione euclidea di 13 + 18i per 5 + 3i in ℤ[i]. Mostrare che i possibili quozienti (e rispettivi resti) sono quattro.

2. Usando l’algoritmo delle divisioni successive, determinare un massimo comune divisore di 5 + 3i e 13 + 18i in ℤ[i] ed una identità di Bezout per esso.

3. Si considerino in ℤ[i] gli ideali I = (1+3i) e J = (3−3i) . Determinare gli ideali I + J , IJ e I ∩ J .

4. Sia α ∈ ℤ[i] . Dimostrare che se la norma di α è un numero primo, allora l’anello quoziente ℤ[i]/(α) è un campo.

5. Sia p ∈ ℤ un numero primo. Mostrare che l’applicazione:

\frac{ℤ[i]}{(p)} ⟶ \frac{ℤ_{p}[X]}{(X^{2} + 1)} definita da a + bi + (p) → ā + b̄X + (X^{2} + 1)

è un isomorfismo di anelli.

Dedurne che p è irriducibile in ℤ[i] se e soltanto se il polinomio X^{2} + 1 è irriducibile in ℤ_{p}[X], ovvero la congruenza X^{2} + 1 ≡ 0 mod p non ha soluzioni in ℤ.

6. Determinare esplicitamente tutti gli elementi di:

\frac{ℤ[i]}{(1 + i)} , \frac{ℤ[i]}{(3)} , \frac{ℤ[i]}{(2 + i)} .

7. Fattorizzare in elementi irriducibili i seguenti elementi di ℤ[i]:

6 , 10 , 13 , 21 , 3 + 4i , −3 + 8i , 11 + 3i .

8. Costruire esplicitamente i campi:

ℚ(\sqrt[5]{2}) , ℚ(\sqrt{3} + 2i) , ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5}) , ℚ(\sqrt{5}, \sqrt{5} + 2i) , ℚ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3}).

9. Sia K un ampliamento quadratico di ℚ. Mostrare che K = ℚ(\sqrt{d}), dove d ∈ ℤ ed è privo di fattori quadratici.

10. Siano a, b due interi positivi. Mostrare che

ℚ(\sqrt{a}, \sqrt{b}) = ℚ(x\sqrt{a} + y\sqrt{b}),

per ogni x, y ∈ ℚ \ {0}.

11. Siano m, n ≥ 2 due interi coprimi. Mostrare che ℚ(\sqrt[n]{2}, \sqrt[m]{3}) = ℚ(\sqrt[n]{2} \sqrt[m]{3}).

12. Mostrare che, per ogni m, n ≥ 2,

ℚ(\sqrt[n]{2}, \sqrt[m]{2}) = ℚ(\sqrt[r]{2}),

per un opportuno r ≥ 2.

13. Sia F ⊆ K un ampliamento di campi e sia α ∈ K. Mostrare che (a) α è algebrico su F se e soltanto se α^{n} è algebrico su F .

(b) Se α ha grado dispari su F, allora α^{2} ha lo stesso grado di α.

14. Determinare due basi diverse su ℚ dei seguenti campi:

ℚ(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}) , ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{2 + \sqrt{2}}) , ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{2 + \sqrt[3]{2}}) , ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{2}}).

15. Determinare il grado di π + \frac{1}{π} su ℚ(π^{2}).

16. Determinare l’inverso di \sqrt{5} + 1 in ℚ(\sqrt{5}).

17. Determinare l’inverso (razionalizzato) di 1 + \sqrt{2} − 2\sqrt{3}.

18. Sia α una radice del polinomio 4X^{4} + 5X + 10. Determinare l’inverso di α^{3} + α + 1 in ℚ(α).