Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2004/2005

AL4 - Numeri Algebrici (Prof. S. Gabelli)

Esercizi 2

1. Determinare un elemento primitivo per i seguenti ampliamenti di ℚ: ℚ(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}); ℚ(\sqrt{2}, \sqrt[4]{2}); ℚ(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{5}); ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}); ℚ(\sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt[3]{2}).

2. Siano α := \sqrt[3]{2}, ξ ∈ ℂ una radice primitiva terza dell’unità e K := ℚ(α, ξ). Mostrare che α − αξ è un elemento primitivo per K su ℚ mentre α + αξ non lo è.

3. Sia θ una radice del polinomio X^{5} − X^{2} − 1 ∈ ℚ[X]. Determinare il polinomio minimo su ℚ dell’elemento θ^{2}.

4. Determinare il polinomio minimo su ℚ di θ := \sqrt[3]{2} − \sqrt[3]{4} ed i coniugati di θ.

5. Determinare i ℚ(θ)-coniugati di θ e α per θ := \sqrt[4]{3} e α := 1+θ, θ+θ^{2}.

6. Sia ξ una radice primitiva undicesima dell’unità. Determinare i ℚ(ξ)- coniugati di α := ξ + ξ^{−1}.

7. Siano α := \sqrt{2}, β := \sqrt{3}, θ := α + β. Determinare il discriminante di ℚ(θ) = ℚ(α, β) rispetto alle basi: {1, α, β, αβ}, {1, θ, θ^{2}, θ^{3}}.

8. Sia θ := \sqrt[3]{2}. Determinare il discriminante di ℚ(θ) rispetto alle basi: {1, θ, θ^{2}}, {θ, θ^{2} + θ, θ^{3} + 1}.

9. Sia α ∈ ℂ algebrico su ℚ con polinomio minimo m(X) := a_{0} + a_{1}X + ⋯ + X^{n}. Mostrare che α è un autovalore, di autovettore v := (1, α, …, α^{n−1}), della matrice

A := (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & 1 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & 1 \\ −a_{0} & −a_{1} & −a_{2} & … & −a_{n−1} \end{matrix})