Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2004/2005

AL4 - Numeri Algebrici (Prof. S. Gabelli)

Esercizi 3

1. Stabilire quali tra i seguenti polinomi di ℤ[X, Y, Z] sono simmetrici ed esprimerli in funzione dei polinomi simmetrici elementari:

(X + Y)(Y + Z)(X + Z); X^{2} + Y^{2} + Z^{2};

X^{2}Y + Y^{2}Z + Z^{2}X; X^{2}Y + X^{2}Z + XY^{2} + XZ^{2} + Y^{2}Z + Y Z^{2}.

2. Sia K un ampliamento quadratico e α ∈ K. Mostrare che α è un intero algebrico se e soltanto se la norma N(α) e la traccia T (α) di α sono numeri interi.

3. Sia K un campo numerico e O_{K} il suo anello degli interi.

Verificare che:

(a) O_{K} ∩ ℚ = ℤ;

(b) K è il campo dei quozienti di O_{K}.

4. Sia K un campo numerico e O_{K} il suo anello degli interi. Mostrare che:

(a) α ∈ O_{K} è invertibile se e soltanto se N(α) = ±1;

(b) α, β ∈ O_{K} sono associati se e soltanto se α divide β e N(α) = N(β);

(c) Se | N(α) | è un numero primo, allora α è irriducibile in O_{K};

(d) Ogni elemento non nullo e non invertibile di O_{K} è prodotto di elementi irriducibili.

5. Determinare il gruppo delle unità di O_{K} quando K è un ampliamento quadratico non reale.

6. Sia K un campo numerico di grado n e siano α_{1}, …, α_{n} ∈ K.

Mostrare che Δ(α_{1}, …, α_{n}) ≠ 0 se e soltanto se {α_{1}, …, α_{n}} sono linearmente indipendenti su ℚ.

7. Sia f(X) ∈ ℚ[X] un polinomio monico di grado n con radici α_{1}, …, α_{n} ∈ ℂ e sia Δ(f) il suo discriminante. Mostrare che:

Δ(f) = ∏_{1≤i≤n}(−1)^{\frac{n(n−1)}{2}} f′(α_{i}).

8. Calcolare il discriminante del polinomio X^{n} − 1.

9. Siano p, q primi distinti. Verificare che vale la Formula di Möbius-

Dedekind:

Φ_{pq}(X) = \frac{Φ_{p}(X^{q})}{Φ_{p}(X)}.

10. Determinare esplicitamente Φ_{15}(X) e calcolare il suo discriminante.

11. Mostrare che, se r, s sono due interi positivi e m = mcm(r, s), allora

ℚ(ξ_{r}, ξ_{s}) = ℚ(ξ_{m}).