Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2004/2005

AL4 - Numeri Algebrici (Prof. S. Gabelli)

Esercizi 5

1. Sia A un dominio con campo dei quozienti K. Mostrare che:

(a) I è un ideale frazionario se e soltanto se I = \frac{1}{d}J, dove J ⊆ A è un ideale e d ∈ A \ {0};

(b) Se I è un sotto A-modulo di K finitamente generato, allora I è un ideale frazionario;

(c) Ogni sotto A-modulo di un ideale frazionario è un ideale frazionario.

2. Siano I, J ideali frazionari di A. Mostrare che: IJ, I ∩ J, I + J e (I :_{K} J) = {x ∈ K; xJ ⊆ I} sono ideali frazionari.

3. Mostrare che, se I è un ideale frazionario di A, allora (I :_{K} I) è un sottoanello di K contenente A.

Mostrare inoltre con un esempio che (A :_{K} I) non è necessariamente un anello.

4. Sia I un ideale frazionario di A. Mostrare che l’applicazione

φ : (A :_{K} I) ⟶ Hom_{A}(I, A) ; (φ(x))(y) = xy

è un isomorfismo di A-moduli.

Per questo motivo l’ideale frazionario (A :_{K} I) si dice anche il duale di I.

5. Sia K := ℚ(\sqrt{d}) e sia I ≠ (0) un ideale di O_{K} tale che I ⊈ xO_{K}, per ogni x ∈ ℤ, x ≥ 2. Mostrare che

(1) I ∩ ℤ = N(I)ℤ.

(2) I è primo se e soltanto se N(I) = p è un numero primo.

6. Stabilire se i seguenti numeri primi p sono inerti, ramificati o decomposti nell’anello degli interi di ℚ(\sqrt{d}) e fattorizzare l’ideale pO_{K} in ideali primi.

p = 2, 3, 7 ; d = 7 p = 2 ; d = 47 p = 23 ; d = 37 p = 11 ; d = −163.

7. Se f(X) ∈ ℤ[X] e p ∈ ℤ è un numero primo, denotiamo con \overline{f}(X) ∈ ℤ_{p}[X] il polinomio ottenuto riducendo i coefficienti di f(X) modulo p. (Provare a) dimostrare il seguente

Teorema di Dedekind (1878):

Sia K = ℚ(θ) di grado n su ℚ e supponiamo che {1, θ, …, θ^{n−1}} sia una base intera di O_{K}. Sia m(X) ∈ ℤ[X] il polinomio minimo di θ su ℚ e sia

\overline{m}(X) = \overline{q_{1}}(X)^{e_{1}} \overline{q_{2}}(X)^{e_{2}} … \overline{q_{s}}(X)^{e_{s}}

la fattorizzazione di \overline{m}(X) in polinomi irriducibili su ℤ_{p}. Allora, per i = 1, …, s,

(1) P_{i} = (p, q_{i}(θ)) ⊆ O_{K} è un ideale primo;

(2) P_{i} ≠ P_{j} per i ≠ j;

(2) N(P_{i}) = p^{deg(q_{i}(X))};

(3) pO_{K} = P_{1}^{e_{1}}P_{2}^{e_{2}} … P_{s}^{e_{s}}.

Suggerimento: Verificare il teorema per alcuni esempi noti nel caso quadratico n = 2 e cercare una dimostrazione (vedi anche l’Esercizio 1.5). Poi generalizzare.