Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2003/2004 TE1 (Teoria di Galois) - Prof. S. Gabelli

Prima prova di valutazione intermedia, 17 Aprile 2004

1. Sia α una radice del polinomio

f(X) := X^{4} − 8X^{2} + 36 ∈ ℚ[X] .

Mostrare che il campo di spezzamento di f(X) su ℚ è ℚ(α) e che il gruppo degli automorfismi di ℚ(α) è un gruppo di Klein.

\underline{Soluzione}: Le radici di f(X) sono ±α, ±β, con

α^{2} = 4 + 2\sqrt{5}i , β^{2} = 4 − 2\sqrt{5}i.

Poiché α^{2}β^{2} = 36, possiamo porre αβ = 6.

Dalle relazioni

(α + β)^{2} = 20 , (α − β)^{2} = −4 ,

si ottiene

α = \sqrt{5} + i , β = \sqrt{5} − i.

Da cui ℚ(α) = ℚ(β) = ℚ(\sqrt{5}, i).

Gli automorfismi di ℚ(α) sono allora quattro, definiti da

\sqrt{5} → ±\sqrt{5} , i → ±i.

[\underline{Alternativamente}:

Da αβ = 6, si ottiene β = 6α^{−1} ∈ ℚ(α).

Poiché f(X) è irriducibile su ℚ, gli automorfismi di ℚ(α) sono quattro, definiti da α → γ, dove γ ∈ {±α, ±β}.]

Poiché ogni automorfismo diverso dall’identità ha ordine 2, gli automorfismi di ℚ(α) formano un gruppo di Klein.

2. Sia ξ ∈ ℂ una radice primitiva settima dell’unità. Determinare il polinomio minimo su ℚ dell’elemento α = ξ^{3} + ξ^{5} + ξ^{6} ed il polinomio minimo di ξ su ℚ(α) .

\underline{Soluzione}: Sia β = ξ + ξ^{2} + ξ^{4} = ᾱ.

Le immagini distinte di α sotto gli isomorfismi di ℚ(α) in ℂ sono α e β. Perciò il polinomio minimo di α su ℚ è

(X − α)(X − β) = X^{2} + X − 2.

[\underline{Alternativamente}: Notando che α + ᾱ = −1 e αᾱ = −2, il polinomio minimo di α su ℚ è X^{2} + X − 2.]

Poiché il grado di ξ su ℚ è sei, il polinomio minimo di ξ su ℚ(α) deve avere grado tre.

Inoltre, le immagini distinte di ξ sotto i ℚ(α)-isomorfismi di ℚ(ξ) in ℂ sono ξ, ξ^{2}, ξ^{4}. Perciò il polinomio minimo di ξ su ℚ(α) è

(X − ξ)(X − ξ^{2})(X − ξ^{4}) = X^{3} − βX^{2} + αX − 1.

3. Sia F ⊆ K un ampliamento di campi di grado n e sia α ∈ K. Mostrare che, se esistono n F -isomorfismi φ_{1}, …, φ_{n} di K nella chiusura algebrica F′ di F (e di K) tali che φ_{i}(α) ≠ φ_{j}(α) per i ≠ j, allora K = F (α).

\underline{Soluzione}: Poiché F ⊆ F (α) ⊆ K, basta mostrare che α ha almeno grado n su F. Questo segue dal fatto che gli n-valori distinti φ_{i}(α) sono radici del polinomio minimo di α su F.

4. Svolgere in modo conciso ma esauriente uno dei seguenti temi:

(a) Ampliamenti finiti e finitamente generati;

(b) Ampliamenti algebrici e chiusura algebrica;

(c) Ampliamenti ciclotomici.