Settimana 1 :  Introduzione al corso. Campi e sottocampi. Sottocampo fondamentale e caratteristica. Omomorfismi e automorfismi di campi. Ampliamenti di campi. Ampliamenti semplici e finitamente generati. Elementi algebrici e trascendenti. Il teorema di struttura degli ampliamenti semplici (Teorema di Kronecker).

Settimana 2 :  Il grado di un ampliamento; il caso degli ampliamenti semplici. Il grado di una successione di ampliamenti. Campi intermedi. Ampliamenti quadratici e biquadratici.

Settimana 3 :  Il reticolo dei campi intermedi di un ampliamento. Il composto di due ampliamenti finiti e suo grado. Il composto di due ampliamenti semplici. Campi di spezzamento di un polinomio; il caso dei polinomi di secondo e terzo grado.

Settimana 4 :  Estensioni di isomorfismi di campi. Estensioni ad un ampliamento semplice: condizioni per l'esistenza di un'estensione e numero delle estensioni. Il caso numerico. F-isomorfismi e F-automorfismi. Unicità del campo di spezzamento. Il gruppo degli F-automorfismi di un ampliamento: primi esempi.

Settimana 5 :  Ampliamenti algebrici. Caratterizzazione degli ampliamenti finiti come ampliamenti algebrici finitamente generati. Transitività della dipendenza algebrica. La chiusura algebrica di un campo in un suo ampliamento. La chiusura algebrica di  Q  in  R  e  C . Chiusura algebrica e campi algebricamente chiusi. Esistenza e unicità della chiusura algebrica.
Campi finiti. Esistenza e unicità di campi finiti con ordine ammissibile. Polinomi irriducibili su F_p . L'automorfismo di Frobenious. Il gruppo degli automorfismi di un campo finito.

Settimana 6 : Isomorfismi di un campo F nella sua chiusura algebrica F'. Gli F-isomorfismi in F' di un ampliamento finito di  F . Relazioni tra le radici di un polinomio su F e gli F-isomorfismi in F' del suo campo di spezzamento.  Il Teorema dell'Elemento Primitivo.
Costruzioni con riga e compasso. Punti costruibili. CNES perché un punto sia costruibile. Costruzioni impossibili.

Settimana 7 :  Ampliamenti puramente trascendenti. Basi di trascendenza. Struttura degli ampliamenti finitamente generati.
Ampliamenti normali e chiusura normale: caso finito. Ampliamenti di Galois finiti e loro gruppo di Galois.
Il gruppo di Galois di un polinomio e sua interpretazione come gruppo di permutazioni.  Calcolo di esempi.

Settimana 8 :  Campi fissi. La Corrispondenza di Galois per gli ampliamenti di Galois finiti. Calcolo di esempi.

Settimana 9 : Costruibilità dei poligoni regolari. Il Teorema di Gauss. 
Funzioni simmetriche. Il polinomio generale di grado n. Il discriminante di un polinomio. Le formule risolutive di Tartaglia-Cardano per le equazioni di terzo grado.

Settimana 10 : Polinomi risolubili per radicali.  Ampliamenti radicali. Il gruppo di Galois di un ampliamento radicale puro.
Gruppi risolubili: esempi. Risolubilità di gruppi di permutazioni.
Il gruppo di Galois di un polinomio risolubile per radicali è un gruppo risolubile. Cenni sul viceversa. Il Teorema di Ruffini-Abel. Esempi di polinomi a coefficienti razionali non risolubili per radicali.

Settimana 11 : Formule per il calcolo del discriminante di un polinomio. Il discriminante di un ampliamento ciclotomico. Ogni ampliamento quadratico è contenuto in un ampliamento ciclotomico.
Il discriminante di un polinomio di terzo grado. Possibili gruppi di Galois di un polinomio di terzo grado. Discussione delle radici reali di un polinomio di terzo grado in funzioni del segno del discriminante. Il "Casus Irriducibilis".

Settimana 12 : Equazioni di quarto grado: formule risolutive e possibili gruppi di Galois. Formula del doppio radicale.