Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2003/2004 TE1 (Teoria di Galois) - Prof. S. Gabelli

Seconda prova di valutazione intermedia, 8 Giugno 2004

1. Determinare tutti i sottocampi dell’ampliamento ciclotomico ℚ(ξ_{22}), dove ξ_{22} è una radice primitiva 22-sima dell’unità.

Per ogni sottocampo, determinare poi un elemento primitivo ed il suo polinomio minimo su ℚ.

\underline{Soluzione}: Sia ξ = ξ_{22}. Notiamo che 22 = 2 · 11, con MCD(2, 11) = 1. Inoltre ξ^{2} = ζ è una radice primitiva 11-sima dell’unità e ξ^{11} = −1. Poiché 1 = 11 − 2 · 5, si ha ξ = ξ^{11−2·5} = −(ξ^{2})^{−5} = −ζ^{−5}. Dunque ℚ(ξ) = ℚ(ζ).

Poiché il gruppo di Galois G di K = ℚ(ζ) su ℚ è ciclico di ordine 10, allora K ha esattamente due sottocampi propri. Precisamente, il campo fisso del sottogruppo di G di ordine 5 (e indice 2) ha grado 2 su ℚ ed è il sottocampo ℚ(i\sqrt{1}1), ottenuto aggiungendo a ℚ una radice del discriminante. Il polinomio minimo di i\sqrt{1}1 su ℚ è X^{2} + 11.

Il sottogruppo di G di ordine 2 (e indice 5) è generato dal coniugio. Perciò il suo campo fisso ha grado 5 su ℚ ed è ℚ(ζ + ζ^{−1}) .

Posto α = ζ + ζ^{−1}, si ha:

α^{2} = (ζ^{2} + ζ^{−2}) + 2;
α^{3} = (ζ^{3} + ζ^{−3}) + 3α;
α^{4} = (ζ^{4} + ζ^{−4}) + 4α^{2} − 2;
α^{5} = (ζ^{5} + ζ^{−5}) + 5α^{3} − 5α.

Poiché ζ è radice dell’11-simo polinomio ciclotomico, risulta:

(ζ + ζ^{−1}) + (ζ^{2} + ζ^{−2}) + (ζ^{3} + ζ^{−3}) + (ζ^{4} + ζ^{−4}) + (ζ^{5} + ζ^{−5}) + 1 = 0 .

Da cui:

α^{5} + α^{4} − 4α^{3} − 3α^{2} + 3α + 1 = 0

Poiché α ha grado 5 su ℚ, il polinomio minimo di α su ℚ è:

X^{5} + X^{4} − 4X^{3} − 3X^{2} + 3X + 1 .

Alternativamente, il polinomio minimo di α su ℚ si può determinare osservando che le sue radici sono i coniugati di α.

2. Mostrare che il gruppo di Galois su ℚ del polinomio

f(X) := X^{5} − 4X + 2

è isomorfo a S_{5}.

Il polinomio f(X) è risolubile per radicali?

\underline{Soluzione}: Il polinomio f(X) è irriducibile su ℚ per il Criterio di Eisenstein (p = 2).

Lo studio della funzione reale Y = f(X) mostra che il polinomio f(X) ha esattamente tre radici reali e 2 radici non reali, coniugate.

Il gruppo di Galois di f(X) si può identificare a un sottogruppo G di S_{5}. Poiché il polinomio f(X) è irriducibile, 5 divide l’ordine di G. Perciò G contiene un elemento di ordine 5 (Teorema di Cauchy), ovvero un 5ciclo. Inoltre G contiene una trasposizione, corrispondente al coniugio. Dunque G = S_{5}.

Poiché il gruppo S_{5} non è risolubile, allora f(X) non è risolubile per radicali.

3. Sia f(X) ∈ F [X] un polinomio di quarto grado irriducibile su F (char(F) = 0). Stabilire quali possono essere i gruppi di Galois di f(X) quando il discriminante di f(X) è un quadrato in F.

\underline{Soluzione}: Se G ⊆ S_{4} è il gruppo di Galois di f(X) su F e δ^{2} = D(f), il gruppo di Galois di f(X) su F (δ) è G ∩ A_{4}.

Notiamo che:

D(f) è un quadrato in F ⇔ δ ∈ F ⇔ F = F (δ) ⇔ G ⊆ A_{4}.

Poiché f(X) è irriducibile, l’ordine di G è diviso da 4. Allora, se D(f) è un quadrato in F, i possibili gruppi di Galois di f(X) su F sono i sottogruppi di A_{4} il cui ordine è diviso da 4, cioè A_{4} e V_{4}.

(G = A_{4} se la risolvente cubica di f(X) è irriducibile e G = V_{4} se è riducibile).

4. Svolgere in modo conciso ma esauriente uno dei seguenti temi: (a) Costruzioni con riga e compasso;

(b) Ampliamenti di Galois;

(c) Il gruppo di Galois di un polinomio.