Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2003/2004 TE1 (Teoria di Galois) - Prof. S. Gabelli Prima prova di esame, 17 Giugno 2004

1. Costruire un campo K con 81 elementi.

Se p è la caratteristica di questo campo, stabilire se esistono polinomi irriducibili su ℤ_{p} di grado 2, 3, 4 che hanno radici in K.

\underline{Soluzione}: Poiché 81 = 3^{4}, il campo K è il campo di spezzamento di ogni polinomio di grado 4 irriducibile su ℤ_{3} , ovvero di ogni fattore irriducibile di grado 4 del polinomio p(X) = X^{81} − X ∈ ℤ_{3}[X] . Inoltre K è costituito esattamente dalle radici di p(X).

Se ad esempio

f(X) = X^{4} + X + 2,

allora f(X) è irriducibile su ℤ_{3} e

K = \frac{ℤ_{3}[X]}{(f(X))} ≅ ℤ_{3}(α) ,

dove α è la classe di X in K.

Se g(X) ∈ ℤ_{3}[X] ha grado n ed è irriducibile, ogni sua radice β ha grado n su ℤ_{3} . Se β ∈ K, n divide [K : ℤ_{3}] = 4. Dunque non può essere n = 3. D’altra parte, ogni polinomio di grado 2 ha radici in K, perché divide p(X) .

2. Costruire un polinomio di quinto grado irriducibile su ℚ che ha tutte radici reali. Qual è il gruppo di Galois di questo polinomio?

\underline{Soluzione}: Per ogni primo p, posto ξ = ξ_{p}, il p-esimo ampliamento ciclotomico ℚ(ξ) ha gruppo di Galois ciclico, di ordine p − 1 .

Se α = ξ + ξ^{p−1}, si ha ℚ(ξ) ∩ ℝ = ℚ(α). Inoltre ℚ(α) ha grado \frac{p−1}{2} su ℚ ed è normale. Dunque tutte le radici del polinomio minimo di α su ℚ, che ha grado \frac{p−1}{2}, sono reali.

Il gruppo di Galois di questo polinomio, essendo un quoziente di un gruppo ciclico, è ciclico.

Per p = 11, si ottiene in questo modo un polinomio del tipo richiesto, che è:

X^{5} + X^{4} − 4X^{3} − 3X^{2} + 3X + 1

ed ha gruppo di Galois ciclico di grado 5 (vedi le soluzioni del 2^{∘} Esonero).

3. Determinare tutti gli ampliamenti quadratici contenuti nel 15-simo ampliamento ciclotomico di ℚ. Quali di questi campi sono reali?

\underline{Soluzione}: Poiché 15 = 3 · 5 e MCD(3, 5) = 1, allora

ℚ(ξ_{15}) = ℚ(ξ_{3}, ξ_{5})

e

Gal_{ℚ}(ℚ(ξ_{15})) = Gal_{ℚ}(ℚ(ξ_{3})) × Gal_{ℚ}(ℚ(ξ_{5})) = ℤ_{2} × ℤ_{4}.

Poiché ℤ_{2} ×ℤ_{4} ha esattamente tre sottogruppi di indice 2, allora ℚ(ξ_{15}) ha esattamente tre sottocampi di grado 2 su ℚ.

Poiché ℚ(i\sqrt{3}) ⊆ ℚ(ξ_{3}) ⊆ ℚ(ξ_{15}) e ℚ(\sqrt{5}) ⊆ ℚ(ξ_{5}) ⊆ ℚ(ξ_{15}) , gli ampliamenti quadratici contenuti in ℚ(ξ_{15}) sono

ℚ(i\sqrt{3}) , ℚ(\sqrt{5}) , ℚ(i\sqrt{1}5) .

Di questi, soltanto ℚ(\sqrt{5}) è reale.

4. Svolgere in modo conciso ma esauriente uno dei seguenti temi:

(a) Ampliamenti normali;

(b) Il polinomio generale di grado n;

(c) Risolubilità per radicali.