Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2003/2004

TE1 - Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois Prof. S. Gabelli

Tutorato 1 - a cura di G. Armellino

1. Sia F un campo reale oppure F = F_{p} con p ≡ 3 mod (4). Mostrare che l’insieme delle matrici

M_{a,b} = \{(\begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix}) ; a, b ∈ F \}

è un campo, sottoanello dell’anello delle matrici quadrate di dimensione 2 a coefficienti in F.

Se F = F_{p}, quanti elementi ha M_{a,b}?

2. Costruire esplicitamente i campi ℚ(α) per i seguenti valori di α:

\sqrt[5]{2} , \sqrt{3} + 2i , ln(2).

3. Costruire esplicitamente i campi:

ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5}) , ℚ(\sqrt{5}, \sqrt{5} + 2i) , ℚ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3}) , ℚ(π, 2 + i).

4. Determinare il campo di spezzamento su ℚ dei polinomi

X^{4} − X^{3} + 4X^{2} − 3X + 3 , X^{9} − 1 , X^{7} − 2.

5. Siano a, b due interi positivi. Mostrare che

ℚ(\sqrt{a}, \sqrt{b}) = ℚ(x\sqrt{a} + y\sqrt{b}),

per ogni x, y ∈ ℚ \ {0}.

6. Determinare l’inverso (razionalizzato) del numero 1 + \sqrt{2} − 2\sqrt{3}.