Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2003/2004

TE1 - Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois Prof. S. Gabelli

Tutorato 10 - a cura di G. Armellino

1. Siano ρ ∈ ℝ , σ , τ le radici complesse del polinomio X^{3} − X + 1.

Mostrare che

σ + τ = −ρ; στ = −\frac{1}{ρ}.

2. Verificare che un polinomio di quarto grado e la sua risolvente cubica hanno lo stesso discriminante.

3. Calcolare il discriminante dei polinomi:

X^{4} + aX^{2} + c; X^{4} + bX + c ∈ ℚ[X].

4. Stabilire, senza calcolarne le radici, qual è il gruppo di Galois dei seguenti polinomi:

X^{3} − 5 ; X^{3} − 21X + 17 ; X^{3} + X^{2} − 2X + 1 ;
X^{4} + 8X + 12 ; X^{4} + 4X^{2} − 5 ; X^{4} + X + 1.

5. Calcolare il discriminante del polinomio X^{n} − 1 ∈ ℚ[X], per n ≥ 2.

6. Determinare un ampliamento ciclotomico contenente \sqrt{d}, per d = 3, 6, 11, 12, 15.

7. Mostrare che, se MCD(r, s) = 1 , allora

(1). ℚ(ξ_{rs}) = ℚ(ξ_{r}, ξ_{s}) ;

(2). Gal_{ℚ}(ℚ(ξ_{rs})) = Gal_{ℚ}(ℚ(ξ_{r})) × Gal_{ℚ}(ℚ(ξ_{s})) .

Inoltre scrivere esplicitamente ξ_{rs} come funzione razionale di ξ_{r} e ξ_{s}.