Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2003/2004

TE1 - Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois Prof. S. Gabelli

Tutorato 11 - a cura di G. Armellino

1. Determinare tutti i sottocampi del 15-simo ampliamento ciclotomico.

2. Determinare esplicitamente il gruppo di Galois su ℚ dei polinomi

X^{4} + 25 , X^{7} − 2 , X^{6} − 8.

3. Stabilire se i seguenti polinomi sono risolubili per radicali:

X^{5} + 3X^{3} − 5X^{2} − 15 , X^{5} + 2X^{2} − 2X − 2 .

4. Risolvere l’equazione

f(X) := X^{4} − 3 = 0

usando il metodo della risolvente cubica.

Verificare che il campo di spezzamento di f(X) su ℚ è ottenuto aggiungendo una radice di f(X) al campo di spezzamento della risolvente.

5. Siano α = \sqrt{r + s\sqrt{t}} e β = x\sqrt{a} + y\sqrt{b} di grado quattro su ℚ.

Mostrare che se α = β allora r^{2} − s^{2}t è un quadrato in ℚ confrontando i due polinomi minimi di α e β.

6. Stabilire se l’angolo di 30 gradi è costruibile con riga e compasso.