Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2003/2004

TE1 - Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois Prof. S. Gabelli

Tutorato 2 - a cura di G. Armellino

1. Sia K un ampliamento quadratico di ℚ. Mostrare che K = ℚ(\sqrt{d}), dove d ∈ ℤ ed è privo di fattori quadratici.

2. Sia F ⊆ K un ampliamento di campi e sia α ∈ K. Mostrare che

(a) α è algebrico su F se e soltanto se α^{n} è algebrico su F .

(b) Se α ha grado dispari su F, allora α^{2} ha lo stesso grado di α.

3. Determinare il grado di π + \frac{1}{π} su ℚ(π^{2}).

4. Sia c > 0. Determinare il grado su ℚ del campo di spezzamento del polinomio X^{3} + cX + 1.

5. Determinare due basi diverse su ℚ dei seguenti campi:

ℚ(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}) , ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{2 + \sqrt{2}}) , ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{2 + \sqrt[3]{2}}) ,

ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{2}}) , ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{\sqrt{3} + \sqrt[3]{2}}).

6. Determinare una base su ℚ dei campi di spezzamento dei seguenti polinomi:

X^{4} + X^{2} − 1 , X^{4} + 30X^{2} + 45 , X^{4} + X^{3} + X^{2} + X + 1.

7. Siano m, n ≥ 2 due interi coprimi. Mostrare che

ℚ(\sqrt[n]{2}, \sqrt[m]{3}) = ℚ(\sqrt[n]{2} \sqrt[m]{3}).

8. Mostrare che, per ogni m, n ≥ 2,

ℚ(\sqrt[n]{2}, \sqrt[m]{2}) = ℚ(\sqrt[r]{2}),

per un opportuno r ≥ 2.