Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2003/2004

TE1 - Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois Prof. S. Gabelli

Tutorato 3 - a cura di G. Armellino

1. Sia K un campo di spezzamento del polinomio f(X) di grado n su F.

Mostrare che:

(a) [K : F] divide n! ;

(b) se [K : F] = n! , allora f(X) è irriducibile su F.

2. Si costruisca un campo di spezzamento K del polinomio

X^{6} − 7X^{4} + 3X^{2} + 3 ∈ F [X]

quando F = ℚ oppure F = ℤ_{13} .

Si determini inoltre il grado di K su F .

3. Si dimostri che, se n = 2^{h}, con h ≥ 2 , le φ(n) radici complesse primitive dell’unità non costituiscono una base dell’n-esimo ampliamento ciclotomico di ℚ.

4. Sia n ≥ 2 e ξ_{n} = cos(\frac{2π}{n}) + i sin(\frac{2π}{n}). Mostrare che ℚ(ξ_{n}) ⊆ ℚ(ξ_{2n}) .

Mostrare inoltre che vale l’uguaglianza se n è dispari e dare un esempio in cui l’inclusione è stretta.

5. Si costruisca un campo di spezzamento su ℚ dei polinomi

X^{2} − 5 , X^{5} + 2 .

Si costruisca inoltre il loro composto e se ne determini il grado su ℚ.

6^{∗}. Sia α ∈ ℂ algebrico di grado n su ℚ e sia φ_{α} : ℚ(α) ⟶ ℚ(α) l’endomorfismo di ℚ(α) (come ℚ-spazio vettoriale) definito da x → αx.

Mostrare che il polinomio minimo di α su ℚ e il polinomio caratteristico di φ_{α} coincidono.