Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2003/2004 TE1 - Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois Prof. S. Gabelli Tutorato 5 - a cura di G. Armellino

1. Sia f(X) ∈ ℚ[X] uno dei seguenti polinomi:

X^{4} − 9X^{2} + 20 ; X^{4} − 4X^{2} + 2 ; X^{4} − 2X^{2} − 1 ; X^{4} − 7X^{2} + 10 .

(a) Stabilire se f(X) è irriducibile su ℚ;

(b) Determinare il campo di spezzamento K di f(X) su ℚ;

(c) Trovare un elemento primitivo per K su ℚ;

(d) Determinare gli automorfismi di K;

(e) Determinare la struttura del gruppo Aut(K).

2. Sia m(X) il polinomio minimo su ℚ di \sqrt[3]{5} + i. Determinare tutte le radici complesse di m(X) .

3. Costruire esplicitamente il gruppo degli automorfismi dell’n-simo ampliamento ciclotomico di ℚ per n = 6, 8, 9, 10, 12 e determinarne la struttura.

4. Sia ξ una radice complessa primitiva settima dell’unità.

(a) Determinare il polinomio minimo su ℚ di α = ξ + ξ^{−1} ;

(b) Mostrare che le radici di questo polinomio sono tutte reali e stanno

in ℚ(α) .

5. Determinare il numero dei polinomi di grado 2 irriducibili su F_{5} .

6. Siano p(X) = X^{2} + X + 1, q(X) = X^{2} − X + 1 ∈ F_{5}[X] .

(a) Mostrare che p(X) e q(X) sono irriducibili su F_{5} ;

(b) Descrivere gli elementi di F_{25} in funzione di una radice α di p(X) ; (c) Determinare quali tra questi elementi sono le radici di p(X) e

q(X) ;

(d) Determinare quali tra questi elementi sono i generatori di F_{25} ;

(e) Determinare il polinomio minimo di ogni generatore di F_{25} ;

(f) Determinare quali tra questi elementi sono gli inversi di α + 1 e α + 2 ;

(g) Determinare gli automorfismi di F_{25} .

7. Sia K un campo di caratteristica p. Mostrare che, se p non divide n, l’n-simo polinomio ciclotomico su K si ottiene dall’n-simo polinomio ciclotomico Φ_{n}(X) su ℚ riducendo i coefficienti modulo p. (Sugg. Ricordare che la riduzione modulo p induce un omomorfismo ℤ[X] ⟶ K[X] e procedere per induzione su n).

8. Mostrare che:

(a) K := ∪_{n≥1}F_{p^{n}} è un campo;

(b) K è una chiusura algebrica di F_{p}.

9. Mostrare che il campo dei numeri reali algebrici non è algebricamente chiuso e determinare una sua chiusura algebrica.