Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2003/2004

TE1 - Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois Prof. S. Gabelli

Tutorato 6 - a cura di G. Armellino

1. Determinare il reticolo dei sottogruppi dei gruppi:

ℤ_{12} ; U(ℤ_{12}) ;

Δ_{4} (gruppo diedrale di grado 4) ; Δ_{5} (gruppo diedrale di grado 5) ; S_{3} ; S_{4} ; H (gruppo delle unità dei quaternioni).

Determinare inoltre quali sottogruppi sono normali.

2. Mostrare che S_{n} è generato da uno qualsiasi dei seguenti insiemi: {(a, b) ; 1 ≤ a, b ≤ n}; {(1, b) ; 1 ≤ b ≤ n}; {τ, γ}

dove τ è una trasposizione e γ è un n-ciclo.

3. Scrivere le seguenti permutazioni di S_{9} come prodotto di cicli disgiunti.

Determinarne inoltre l’ordine e la parità:

(143)(2531)(24) ; (176)(914) ; (23)(21)(24) ; (13579)(2468) ; (1653)(4368)(879) ; (13)(1435)(7986)(123) .

4. Mostrare che, se H è un sottogruppo di S_{n} che contiene una permutazione dispari, allora esattamente la metà delle permutazioni di H sono dispari (in particolare l’ordine di H è pari).

5. Mostrare che se π ∈ S_{n} e γ = (a_{1}, a_{2}, , a_{r}) è un r-ciclo, allora π^{−1}γπ := π ∘ γ ∘ π^{−1} = (π(a_{1}), π(a_{2}), …, π(a_{r})).

Dedurne che tutti gli r-cicli sono coniugati in S_{n}.

6. Determinare le classi coniugate di S_{4}.

7. Siano α , τ ∈ I ⊆ S_{9} con I = {(13564), (45)(842)(793), (34)(867), (36578)(1429), (13)(76)(47)}.

Determinare τ^{−1}ατ.

8. Determinare (se esiste) τ ∈ S_{9} tale che β = τ^{−1}ατ quando:

(a) α = (1357) , β = (2468);

(b) α = (12)(5389) , β = (35)(1476);

(c) α = (12)(34)(67) , β = (23)(46)(17);

(d) α = (4657)(98123) , β = (5746)(123)(89);

(e) α = (123456789) , β = (675983241).

9. Mostrare che i 5-cicli si ripartiscono in due classi coniugate di A_{5} (benché essi siano tutti coniugati in S_{5}).

10. Identificare Δ_{4} ad un sottogruppo di S_{4} e determinare due elementi di Δ_{4} che sono coniugati in S_{4} ma non in Δ_{4}.

11. Sia G un gruppo, comunque scelti a, b ∈ G , poniamo

[a, b] := a^{−1}b^{−1}ab.

L’elemento [a, b] si dice il commutatore di a e b ed il sottogruppo G′ di G generato da tutti i commutatori, si dice il sottogruppo derivato di G. Mostrare che:

(a) G′ = {e} se e soltanto se G è abeliano;

(b) G′ è un sottogruppo caratteristico (e quindi normale) di G ;

(c) G/G′ è abeliano;

(d) Se N è un sottogruppo normale di G e G/N è abeliano, allora G′ ⊆ N ;

(e) Se H è un sottogruppo di G tale che G′ ⊆ H , allora H è normale;

(f) Se Z := Z(G) è il centro di G e {a_{i} : i ∈ I} è un insieme di rappresentanti delle classi laterali di Z in G , allora G′ è generato da {[a_{i}, a_{j}] : i, j ∈ I}.

12. Sia G un gruppo. Poniamo G(0) := G e, per ogni k ≥ 1 , indichiamo

con G(k) il derivato di G(k − 1) . La catena di sottogruppi di G

G(0) := G ⊇ G(1) := G′ ⊇ … ⊇ G(k) ⊇ …

si dice la serie derivata di G . Usando le proprietà elencate nell’esercizio precedente, determinare la serie derivata dei gruppi:

Δ_{4} ; Δ_{5} ; S_{3} ; S_{4} ; H.