Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2003/2004

TE1 - Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois Prof. S. Gabelli

Tutorato 7 - a cura di G. Armellino

1. Sia α ∈ ℂ \ ℝ e χ : ℚ(α) ⟶ ℂ, α → ᾱ l’omomorfismo di coniugio.

Mostrare che, se ℚ(α) è un ampliamento normale, χ è un automorfismo di ℚ(α) di ordine 2 e che il campo fissato da G = {id, χ} è ℚ(α+ᾱ, αᾱ).

2. Sia f(X) = X^{4} + X^{2} − 1 ∈ ℚ[X]. Determinare esplicitamente un omomorfismo iniettivo di Gal_{ℚ}(f(x)) in S_{4}.

3. Esplicitare la corrispondenza di Galois per l’ampliamento ℚ ⊆ ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}).

4. Esplicitare la corrispondenza di Galois per gli ampliamenti ciclotomici ℚ(ξ_{8}) e ℚ(ξ_{10}).

5. Sia K il campo di spezzamento su ℚ del polinomio f(X) = X^{4} − 2.

Determinare tutti i sottocampi normali di K.

6. Mostrare che i coniugati su ℚ di cos(\frac{2π}{n}) sono tutti reali.

7. Mostrare che ogni polinomio a coefficienti razionali ha lo stesso gruppo di Galois su ℚ di un polinomio monico irriducibile.

8. Determinare un polinomio a coefficienti razionali il cui gruppo di Galois è isomorfo a ℤ_{4} × ℤ_{2}.