Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2003/2004

TE1 - Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois Prof. S. Gabelli

Tutorato 8 - a cura di G. Armellino

1. Mostrare che l’ampliamento F ⊆ K è biquadratico se e soltanto se il suo gruppo di Galois su F è un gruppo di Klein.

2. Determinare per quali valori di n ≤ 30 il poligono regolare di n lati è costruibile con riga e compasso.

3. Stabilire se gli angoli di ampiezza uguale a 10 e 24 gradi sono costruibili con riga e compasso.

4. Mostrare che l’equazione

f(X) = X^{3} − 2pX + p ∈ ℚ[X]

con p primo, ha tre radici reali distinte e determinare queste radici con le formule di Tartaglia-Cardano.

5. Risolvere per radicali il settimo polinomio ciclotomico.

6. Calcolare il polinomio di Vandermonde in n indeterminate e mostrare

che esso è uguale a

∏_{1≤i<j≤n} (X_{i} − X_{j}).

7. Mostrare che il polinomio

(X + Y)(X + Z)(Y + Z) ∈ F [X, Y, Z]

è simmetrico ed esprimerlo in funzione dei polinomi simmetrici elementari.