Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica - a.a.2003/2004

TE1 - Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois Prof. S. Gabelli

Tutorato 9 - a cura di G. Armellino

1. Sia f(X) = (X−a)g(X) ∈ ℚ[X] un polinomio di terzo grado. Mostrare che i discriminanti di f(X) e g(X) soddisfano la relazione

D(f) = c^{2}D(g),

con c ∈ ℚ.

2. Determinare tutti i sottocampi dell’ampliamento ciclotomico ℚ(ξ_{13}). Per ognuno di questi campi, determinare un elemento primitivo ed il suo polinomio minimo.

3. Costruire un polinomio a coefficienti razionali il cui gruppo di Galois ha ordine uguale a 5.

4. Mostrare che sin \frac{2π}{7} è algebrico su ℚ e determinare il suo polinomio minimo.

5. Determinare i gruppi di Galois su ℚ dei seguenti polinomi:

X^{4} − 5 ; X^{6} + 4 ; (X^{4} − 5)(X^{6} + 4).

6. Sia G il gruppo di Galois su ℚ del polinomio X^{5} − 2. Costruire esplicitamente un omomorfismo iniettivo di G in S_{5}.