LezioniTE1_07

Settimana 1: La caratteristica di un campo. Omomorfismi tra campi. Ampliamenti di campi. Il grado di un ampliamento e sue proprietà. Il campo K[X]/<m(X)>. Elementi algebrici e trascendenti. Classificazione degli ampliamenti semplici.

Settimana 2: Campi di spezzamento di polinomi a coefficienti numerici. Radici complesse dell'unità e ampliamenti ciclotomici. Irriducibilità del p-simo polinomio ciclotomico. Calcolo delle radici quinte dell'unità. La sezione aurea di un segmento. Formule risolutive per le equazioni di terzo grado.

Settimana 3: Un ampliamento è finito se e soltanto se è algebrico e finitamente generato. Chiusura algebrica di F in K. Il campo dei numeri algebrici non è finito su Q. Costruzione di un campo di spezzamento. Radici multiple. Esistenza di campi finiti di ogni ordine ammissibile. Ogni campo finito è un amplimento semplice del suo sottocampo fondamentale.

Settimana 4: Polinomi irriducibili su Fp. Costruzione di campi finiti come quozienti di Fp[X]. Isomorfismi tra campi finiti. Estensioni di omomorfismi di campi. F-isomorfismi. Isomorfismi in C: esempi. Unicità del campo di spezzamento.

Settimana 5: Elementi coniugati. Separabilità. I campi finiti e i campi di caratteristica zero sono perfetti. Polinomi ciclotomici ed ampliamenti ciclotomici. Gruppi di automorfismi di campi finiti e di ampliamenti ciclotomici. Il più grande sottocampo reale di un ampliamento ciclotomico. Polinomi di grado phi(n)/2 con tutte radici reali.

Settimana 6: Chiusure algebriche e campi algebricamente chiusi. Costruzione di una chiusura algebrica come unione di campi di spezzamento. F-isomorfismi in una chiusura algebrica di F. Campi coniugati.

Settimana 7: Ampliamenti normali e loro caratterizzazioni. Ampliamenti normali finiti come campi di spezzamento. Il teorema dell'elemento primitivo. Ampliamenti di Galois e loro caratterizzazioni. Campi intermedi di ampliamenti di Galois. Risolventi di Galois. Calcolo di alcuni gruppi di Galois come gruppi di permutazioni.

Prima prova di valutazione intermedia

Settimana 8: Polinomi simmetrici. Teorema fondamentale. Il polinomio generale e il suo gruppo di Galois. Relazioni fra le radici ed i coefficienti di un polinomio. Il discriminante di un polinomio. Formule per il calcolo del discriminante. Il discriminante del p-simo ampliamento ciclotomico. Definizione della corrispondenza di Galois.

Settimana 9: La corrispondenza di Galois per gli ampliamenti di Galois finiti: proprietà ed esempi. Gruppi di Galois di polinomi biquadratici.

Settimana 10: Polinomi con gruppo di Galois contenuto in An. Campi di spezzamento e gruppi di Galois di polinomi di terzo grado. Ogni ampliamento quadratico è contenuto in un ampliamento ciclotomico. Cenni sul problema inverso. Costruzione di polinomi su un campo opportuno con gruppo di Galois assegnato. Costruzione di polinomi su Q con gruppo di Galois ciclico. Gruppi risolubili: definizione ed esempi. Sn non è risolubile per n > 4.

Settimana 11: Il Lemma di Dedekind. Ampliamenti radicali. Caratterizzazione degli ampliamenti radicali puri come ampliamenti ciclici di Q(\xi). Il gruppo di Galois del polinomio X^n -a. Il gruppo metaciclico di grado 5. Enunciato del Teorema di Galois sulla risolubilità delle equazioni polinomiali. Il Teorema di Ruffini-Abel. Esempi di polinomi di quinto grado non risolubili per radicali.

Settimana 12: Dimostrazione del Teorema di Galois sulla risolubilità delle equazioni polinomiali. Costruibilità con riga e compasso. Punti costruibili. Costruzioni impossibili.

Settimana 13: Costruibilità dei poligoni regolari: il teorema di Gauss. Una dimostrazione del Teorema Fondamentale dell'Algebra.

Seconda prova di valutazione intermedia

Dipartimento di Matematica

Roma TRE