Dipartimento di Matematica

Roma TRE




TE1 - Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois

a.a. 2008/2009 - II Semestre


Diario delle Lezioni
Settimana 1
Martedì 24 Febbraio: Introduzione al corso. Calcolo delle radici p-esime dell'unità. Le formule di Tartaglia-Cardano per le equazioni di terzo grado.
Venerdì 27 Febbraio: Richiami sui campi: esempi, caratteristica e sottocampo fondamentale, immersioni di campi. Ampliamenti: primi esempi di ampliamenti semplici.

Settimana 2
Martedì 3 Marzo: Ampliamenti semplici algebrici e trascendenti. Il polinomio minimo di un elemento algebrico. Il grado di un ampliamento.
Venerdì 6 Marzo: Proprietà moltiplicativa del grado. Ampliamenti di grado primo. Ampliamenti quadratici e biquadratici. Chiusura algebrica relativa.

Settimana 3
Martedì 10 Marzo: Ampliamenti finiti e finitamente generati. Il campo dei numeri reali algebrici. Il composto di due ampliamenti finiti e suo grado.
Venerdì 13 Marzo: Costruzione di un campo di spezzamento. Esempi. Ampliamenti ciclotomici.

Settimana 4:
Martedì 17 Marzo: Campi di spezzamento in caratteristica p. Estensione di un'immersione di campi ad un ampliamento semplice algebrico. F-immersioni.
Venerdì 20 Marzo: Unicità del campo di spezzamento. Immersioni in C.  Il gruppo di Galois di un ampliamento e di un polinomio. Esempi. Automorfismi di ampliamenti ciclotomici.

Settimana 5:
Martedì 24 Marzo: Esistenza e unicità di campi finiti di ordine ammissibile. Polinomi irriducibili su F_p. Automorfismi di campi finiti: l'omomorfismo di Fröbenius.
Venerdì 27 Marzo: Chiusure algebriche e campi algebricamente chiusi. Cenni sulla costruzione di una chiusura algebrica e sulla sua unicità. Definizione di ampliamento normale, separabile, di Galois.

Settimana 6:
Martedì 31 Marzo: Caratterizzazione degli ampliamenti normali finiti come campi di spezzamento di polinomi. Il gruppo di Galois di un polinomio separabile come un gruppo di permutazioni sulle radici. Esempi.
Venerdì 3 Aprile: Chiusura normale: caso finito. Ampliamenti di Galois e loro campi intermedi: calcolo dei coniugati di un campo intermedio tramite il gruppo di Galois dell'ampliamento. Ampliamenti separabili. Il teorema dell'elemento primitivo.

Prima prova di valutazione intermedia: Martedì 7 Aprile, Ore 14,30, Aula G (E' obbligatorio prenotarsi)

Settimana 7: Martedì 21 Marzo: Enunciato e significato del teorema fondamentale della corrispondenza di Galois per gli ampliamenti finiti. Campi fissi. Esempi.
Venerdì 24 Aprile:  Dimostrazione del teorema fondamentale. Primi esempi.

Settimana 8: Martedì 28 Marzo: Funzioni simmetriche. I polinomi simmetrici elementari generano il campo delle funzioni simmetriche. Il polinomio generale. Il discriminante di un polinomio.
Venerdì 1 Maggio: Festività.

Settimana 9: Mercoledì 5 Maggio: Indipendenza algebrica. Basi di trascendenza di ampliamenti finitamente generati. Indipendenza algebrica dei polinomi simmetrici elementari.
Venerdì 7 Maggio: Il polinomio generale: campo di definizione, campo di spezzamento e gruppo di Galois. Il polinomio discriminante. Discriminante di un polinomio su F e relazione con i coefficienti. Metodi di calcolo. Il discriminante del polinomio X^p-1. Significato del discriminante per il gruppo di Galois.

Settimana 10: Martedì 12 Maggio: Studio delle equazioni di terzo grado tramite il discriminante. Ampliamenti quadratici contenuti in ampliamenti ciclotomici.
Ampliamenti radicali e risolubilità delle equazioni polinomiali. Lemma di Dedekind. Enunciato del Teorema di Kummer per gli ampliamenti ciclici.
Venerdì 15 Maggio: Dimostrazione del Teorema di Kummer.
Gruppi risolubili e loro prime proprietà. Esempi di gruppi risolubili. Non risolubiltà di S_n per n ≥ 5. Enunciato del Teorema di Galois per la risolubilità delle equazioni polinomiali. Il Teorema di Ruffini-Abel.

Settimana 11: Martedì 19 Maggio: Il gruppo di Galois di un polinomio risolubile è risolubile. Cenni sulla risolubilità delle equazioni di quinto grado. Un polinomio su Q che ha soltanto due radici  non reali ha gruppo di Galois totale.
Venerdì 22 Maggio: Un polinomio con gruppo di Galois risolubile è risolubile.  Costruzioni con riga e compasso. Punti e numeri costruibili. Costruibilità dei poligoni regolari.

Settimana 12: Martedì 26 Maggio: Esercizi

Seconda prova di valutazione intermedia: Venerdì 29 maggio, Ore 9,30, Aula G (E' obbligatorio prenotarsi)